Номер 707, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 707, страница 124.

Условие.

707. Разложите на множители многочлен:

1) $2a^2 - 2b^2;$

2) $cx^2 - cy^2;$

3) $3x^2 - 3;$

4) $3ab^2 - 27a;$

5) $x^3 - 4x;$

6) $2y^3 - 18y;$

7) $x^4 - x^2;$

8) $0,09t^4 - t^6;$

9) $\frac{16}{49}a^2b^4c^5 - b^2c^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для разложения многочлена $2a^2 - 2b^2$ на множители сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=a$ и $y=b$. В результате получаем $2(a - b)(a + b)$.
Ответ: $2(a - b)(a + b)$.

2) В многочлене $cx^2 - cy^2$ вынесем общий множитель $c$ за скобки: $c(x^2 - y^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем $c(x - y)(x + y)$.
Ответ: $c(x - y)(x + y)$.

3) Для многочлена $3x^2 - 3$ вынесем общий множитель 3 за скобки, что дает $3(x^2 - 1)$. Выражение $x^2 - 1$ можно представить как разность квадратов $x^2 - 1^2$. Применив формулу, получим $3(x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $3(x - 1)(x + 1)$.

4) В выражении $3ab^2 - 27a$ общим множителем является $3a$. Вынесем его за скобки: $3a(b^2 - 9)$. Выражение в скобках $b^2 - 9$ является разностью квадратов $b^2 - 3^2$. Разложим его по формуле: $3a(b - 3)(b + 3)$.
Ответ: $3a(b - 3)(b + 3)$.

5) В многочлене $x^3 - 4x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 4)$. Выражение в скобках $x^2 - 4$ является разностью квадратов $x^2 - 2^2$. Применяя соответствующую формулу, получаем $x(x - 2)(x + 2)$.
Ответ: $x(x - 2)(x + 2)$.

6) В выражении $2y^3 - 18y$ вынесем за скобки общий множитель $2y$: $2y(y^2 - 9)$. Выражение $y^2 - 9$ является разностью квадратов $y^2 - 3^2$. Разложим его на множители: $2y(y - 3)(y + 3)$.
Ответ: $2y(y - 3)(y + 3)$.

7) Для многочлена $x^4 - x^2$ вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(x^2 - 1)$. Выражение в скобках $x^2 - 1$ — это разность квадратов $x^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов: $x^2(x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $x^2(x - 1)(x + 1)$.

8) В многочлене $0,09t^4 - t^6$ вынесем общий множитель с наименьшей степенью, то есть $t^4$, за скобки: $t^4(0,09 - t^2)$. Выражение в скобках $0,09 - t^2$ является разностью квадратов $(0,3)^2 - t^2$. Разложим его на множители: $t^4(0,3 - t)(0,3 + t)$.
Ответ: $t^4(0,3 - t)(0,3 + t)$.

9) В выражении $\frac{16}{49}a^2b^4c^5 - b^2c^3$ вынесем общий множитель $b^2c^3$ за скобки: $b^2c^3(\frac{16}{49}a^2b^2c^2 - 1)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $\frac{16}{49}a^2b^2c^2 = (\frac{4}{7}abc)^2$ и $1 = 1^2$. Применив формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем $b^2c^3(\frac{4}{7}abc - 1)(\frac{4}{7}abc + 1)$.
Ответ: $b^2c^3(\frac{4}{7}abc - 1)(\frac{4}{7}abc + 1)$.