Номер 721, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 721, страница 125.

Условие.

721. Разложите на множители:

1) $a^2 - b^2 - a - b$;

2) $x - y - x^2 + y^2$;

3) $4m^2 - 9n^2 + 2m + 3n$;

4) $c^2 - d^2 + 4c - 4d$;

5) $5x^2y - 5xy^2 - x^2 + y^2$;

6) $a^2 - 10a + 25 - ab + 5b$;

7) $8mp + 8np - m^2 - 2mn - n^2$;

8) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2$;

9) $m^3 - 8n^3 - m^2 + 4mn - 4n^2$;

10) $a^3 - 4a^2 + 4a - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $a^2 - b^2 - a - b$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два. Первую группу разложим по формуле разности квадратов, а из второй вынесем знак минус за скобки:

$(a^2 - b^2) - (a + b) = (a - b)(a + b) - (a + b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)( (a - b) - 1 ) = (a + b)(a - b - 1)$

Ответ: $(a + b)(a - b - 1)$

2) $x - y - x^2 + y^2$

Сгруппируем слагаемые следующим образом и вынесем знак минус из второй группы:

$(x - y) - (x^2 - y^2)$

Разложим вторую группу по формуле разности квадратов:

$(x - y) - (x - y)(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(1 - (x + y)) = (x - y)(1 - x - y)$

Ответ: $(x - y)(1 - x - y)$

3) $4m^2 - 9n^2 + 2m + 3n$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два. Первую группу разложим по формуле разности квадратов:

$(4m^2 - 9n^2) + (2m + 3n) = ((2m)^2 - (3n)^2) + (2m + 3n) = (2m - 3n)(2m + 3n) + (2m + 3n)$

Вынесем общий множитель $(2m + 3n)$ за скобки:

$(2m + 3n)( (2m - 3n) + 1 ) = (2m + 3n)(2m - 3n + 1)$

Ответ: $(2m + 3n)(2m - 3n + 1)$

4) $c^2 - d^2 + 4c - 4d$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.

$(c^2 - d^2) + (4c - 4d)$

Разложим первую группу по формуле разности квадратов, а из второй вынесем общий множитель 4:

$(c - d)(c + d) + 4(c - d)$

Вынесем общий множитель $(c - d)$ за скобки:

$(c - d)( (c + d) + 4 ) = (c - d)(c + d + 4)$

Ответ: $(c - d)(c + d + 4)$

5) $5x^2y - 5xy^2 - x^2 + y^2$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два. Из второй группы вынесем знак минус.

$(5x^2y - 5xy^2) - (x^2 - y^2)$

Из первой группы вынесем общий множитель $5xy$, а вторую разложим по формуле разности квадратов:

$5xy(x - y) - (x - y)(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(5xy - (x + y)) = (x - y)(5xy - x - y)$

Ответ: $(x - y)(5xy - x - y)$

6) $a^2 - 10a + 25 - ab + 5b$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат разности. Сгруппируем их. Из последних двух слагаемых вынесем $-b$.

$(a^2 - 10a + 25) - (ab - 5b) = (a - 5)^2 - b(a - 5)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 5)$ за скобки:

$(a - 5)( (a - 5) - b ) = (a - 5)(a - 5 - b)$

Ответ: $(a - 5)(a - b - 5)$

7) $8mp + 8np - m^2 - 2mn - n^2$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние три. Из последней группы вынесем знак минус.

$(8mp + 8np) - (m^2 + 2mn + n^2)$

Из первой группы вынесем общий множитель $8p$, а вторая группа является полным квадратом суммы:

$8p(m + n) - (m + n)^2$

Вынесем общий множитель $(m + n)$ за скобки:

$(m + n)(8p - (m + n)) = (m + n)(8p - m - n)$

Ответ: $(m + n)(8p - m - n)$

8) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2$

Сгруппируем слагаемые по-другому: первое с третьим и второе с четвертым.

$(a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(a - b) - b^2(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a^2 - b^2)$

Разложим вторую скобку по формуле разности квадратов:

$(a - b)(a - b)(a + b) = (a + b)(a - b)^2$

Ответ: $(a + b)(a - b)^2$

9) $m^3 - 8n^3 - m^2 + 4mn - 4n^2$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние три. Из последней группы вынесем знак минус.

$(m^3 - 8n^3) - (m^2 - 4mn + 4n^2)$

Первая группа — это разность кубов $(m^3 - (2n)^3)$, а вторая — полный квадрат разности $(m-2n)^2$.

$(m - 2n)(m^2 + m(2n) + (2n)^2) - (m - 2n)^2 = (m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) - (m - 2n)^2$

Вынесем общий множитель $(m - 2n)$ за скобки:

$(m - 2n)( (m^2 + 2mn + 4n^2) - (m - 2n) ) = (m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 - m + 2n)$

Ответ: $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 - m + 2n)$

10) $a^3 - 4a^2 + 4a - 1$

Сгруппируем первое слагаемое с последним, а второе с третьим.

$(a^3 - 1) - (4a^2 - 4a)$

Первую группу разложим по формуле разности кубов, а из второй вынесем общий множитель $4a$.

$(a - 1)(a^2 + a + 1) - 4a(a - 1)$

Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:

$(a - 1)( (a^2 + a + 1) - 4a ) = (a - 1)(a^2 - 3a + 1)$

Ответ: $(a - 1)(a^2 - 3a + 1)$