Номер 734, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 734, страница 126.

Условие.

734. Разложите на множители трёхчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:

1) $x^2 - 10x + 24;$

2) $a^2 + 4a - 32;$

3) $b^2 - 3b - 4;$

4) $4a^2 - 12a + 5;$

5) $9x^2 - 24xy + 7y^2;$

6) $36m^2 - 60mn + 21n^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы разложить на множители трёхчлен $x^2 - 10x + 24$, сначала выделим в нём квадрат двучлена. Для этого рассмотрим первые два слагаемых $x^2 - 10x$. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $2ab=10x$, находим, что $b=5$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $b^2 = 5^2 = 25$. Добавим и вычтем 25 к исходному выражению:
$x^2 - 10x + 24 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 24$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат, а оставшиеся числа сложим:
$(x - 5)^2 - 1$
Мы получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x-5$ и $B=1$:
$(x - 5)^2 - 1^2 = ((x - 5) - 1)((x - 5) + 1) = (x - 6)(x - 4)$
Ответ: $(x - 6)(x - 4)$

2) Разложим на множители $a^2 + 4a - 32$. Выделим квадрат двучлена из $a^2 + 4a$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $2ab = 4a$, значит $b=2$. Недостающее слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:
$a^2 + 4a - 32 = (a^2 + 4a + 4) - 4 - 32$
Группируем слагаемые:
$(a + 2)^2 - 36$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a+2$ и $B = \sqrt{36} = 6$:
$(a + 2)^2 - 6^2 = ((a + 2) - 6)((a + 2) + 6) = (a - 4)(a + 8)$
Ответ: $(a - 4)(a + 8)$

3) Разложим на множители $b^2 - 3b - 4$. Выделим квадрат двучлена из $b^2 - 3b$. По формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, имеем $a=b$ и $2ab=3b$, откуда $b=3/2$. Недостающее слагаемое равно $(3/2)^2 = 9/4$. Добавим и вычтем это число:
$b^2 - 3b - 4 = (b^2 - 3b + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 4$
Группируем слагаемые и приводим дроби к общему знаменателю:
$(b - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{16}{4} = (b - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$
Применяем формулу разности квадратов, где $A = b - \frac{3}{2}$ и $B = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$:
$(b - \frac{3}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = ((b - \frac{3}{2}) - \frac{5}{2})((b - \frac{3}{2}) + \frac{5}{2}) = (b - \frac{8}{2})(b + \frac{2}{2}) = (b - 4)(b + 1)$
Ответ: $(b - 4)(b + 1)$

4) Разложим на множители $4a^2 - 12a + 5$. Представим первый член как $(2a)^2$. Для выделения полного квадрата по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, имеем $x=2a$ и $2xy = 12a$. Отсюда $2(2a)y = 12a$, что дает $y=3$. Недостающее слагаемое $y^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9:
$4a^2 - 12a + 5 = (4a^2 - 12a + 9) - 9 + 5$
Группируем:
$(2a - 3)^2 - 4$
Применяем формулу разности квадратов, где $A = 2a-3$ и $B = \sqrt{4} = 2$:
$(2a - 3)^2 - 2^2 = ((2a - 3) - 2)((2a - 3) + 2) = (2a - 5)(2a - 1)$
Ответ: $(2a - 5)(2a - 1)$

5) Разложим на множители $9x^2 - 24xy + 7y^2$. Выделим полный квадрат, рассматривая выражение как квадратный трёхчлен относительно $x$. Первый член $9x^2 = (3x)^2$. По формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, имеем $a=3x$ и $2ab=24xy$. Отсюда $2(3x)b=24xy$, что дает $b=4y$. Недостающее слагаемое $b^2 = (4y)^2 = 16y^2$. Добавим и вычтем его:
$9x^2 - 24xy + 7y^2 = (9x^2 - 24xy + 16y^2) - 16y^2 + 7y^2$
Группируем:
$(3x - 4y)^2 - 9y^2$
Применяем формулу разности квадратов, где $A = 3x-4y$ и $B = \sqrt{9y^2} = 3y$:
$(3x - 4y)^2 - (3y)^2 = ((3x - 4y) - 3y)((3x - 4y) + 3y) = (3x - 7y)(3x - y)$
Ответ: $(3x - 7y)(3x - y)$

6) Разложим на множители $36m^2 - 60mn + 21n^2$. Выделим полный квадрат относительно $m$. Первый член $36m^2 = (6m)^2$. По формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, имеем $a=6m$ и $2ab=60mn$. Отсюда $2(6m)b=60mn$, что дает $b=5n$. Недостающее слагаемое $b^2 = (5n)^2 = 25n^2$. Добавим и вычтем его:
$36m^2 - 60mn + 21n^2 = (36m^2 - 60mn + 25n^2) - 25n^2 + 21n^2$
Группируем:
$(6m - 5n)^2 - 4n^2$
Применяем формулу разности квадратов, где $A = 6m-5n$ и $B = \sqrt{4n^2} = 2n$:
$(6m - 5n)^2 - (2n)^2 = ((6m - 5n) - 2n)((6m - 5n) + 2n) = (6m - 7n)(6m - 3n)$
Во втором множителе $(6m - 3n)$ можно вынести за скобки общий множитель 3:
$(6m - 7n) \cdot 3(2m - n) = 3(2m - n)(6m - 7n)$
Ответ: $3(2m - n)(6m - 7n)$