Номер 745, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 745, страница 127.

Условие.

745. Докажите, что сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть произвольное трёхзначное число представлено в виде $\overline{abc}$, где $a$ – цифра сотен ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), $b$ – цифра десятков ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$), и $c$ – цифра единиц ($c \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Значение этого числа можно записать в виде суммы разрядных слагаемых: $100a + 10b + c$.

Сумма его цифр равна $a + b + c$.

Удвоенная сумма его цифр равна $2 \cdot (a + b + c)$.

Теперь составим выражение для суммы трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр. Обозначим эту сумму буквой $S$:

$S = (100a + 10b + c) + 2(a + b + c)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = 100a + 10b + c + 2a + 2b + 2c$

$S = (100a + 2a) + (10b + 2b) + (c + 2c)$

$S = 102a + 12b + 3c$

Чтобы доказать, что полученное выражение делится нацело на 3, нужно показать, что каждый его член делится на 3.

$102a$ делится на 3, так как $102 = 3 \cdot 34$.

$12b$ делится на 3, так как $12 = 3 \cdot 4$.

$3c$ очевидно делится на 3.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3 \cdot 34a + 3 \cdot 4b + 3 \cdot c = 3(34a + 4b + c)$

Поскольку $a$, $b$ и $c$ являются целыми числами, то и выражение в скобках $(34a + 4b + c)$ является целым числом. Следовательно, вся сумма $S$ является произведением числа 3 и целого числа, а значит, она делится на 3 без остатка.

Ответ: утверждение доказано.