Номер 6, страница 64 - гдз по физике 7 класс учебник Башарулы, Тезекеев

6. Из населенного пункта А вышел пеший путник, уравнение движения которого $x_1 = 5t$. Одновременно с ним из населенного пункта Б выехал велосипедист в сторону пункта А, уравнение движения которого $x_2 = 15 - 10t$. Укажите, где находится начало системы отсчета и определите, как движутся путник и велосипедист? Определите начальные координаты и скорость движения путника и велосипедиста. Через какое количество времени они встретятся? Найдите место их встречи. Какое расстояние и перемещение проделали путник и велосипедист? Задачу требуется решить аналитически и графически. Считайте, что расстояния заданы в км, а скорость - в км/ч.

Дано:

Уравнение движения пешего путника: $x_1 = 5t$

Уравнение движения велосипедиста: $x_2 = 15 - 10t$

Расстояния измеряются в километрах (км), время в часах (ч), скорость в км/ч.

Переведем данные в Международную систему единиц (СИ):

Начальная координата путника: $x_{01} = 0$ км $= 0$ м.

Скорость путника: $v_1 = 5$ км/ч $= 5 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{25}{18} \approx 1.39$ м/с.

Начальная координата велосипедиста: $x_{02} = 15$ км $= 15000$ м.

Скорость велосипедиста: $v_2 = -10$ км/ч $= -10 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = -\frac{50}{18} = -\frac{25}{9} \approx -2.78$ м/с.

Уравнения движения в СИ:

$x_1(t) = \frac{25}{18}t$

$x_2(t) = 15000 - \frac{25}{9}t$

(где $x$ в метрах, $t$ в секундах)

Найти:

1. Местоположение начала системы отсчета.

2. Характер движения путника и велосипедиста.

3. Начальные координаты ($x_{01}, x_{02}$) и скорости ($v_1, v_2$) путника и велосипедиста.

4. Время встречи ($t_{встр}$).

5. Место встречи ($x_{встр}$).

6. Расстояние ($S_1, S_2$) и перемещение ($\Delta x_1, \Delta x_2$), проделанные путником и велосипедистом до встречи.

Решение:

Для удобства вычислений будем использовать исходные единицы измерения (км, ч, км/ч), так как они согласованы между собой. Результаты будут получены в этих же единицах.

Аналитическое решение

Общий вид уравнения для равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось Ох.

Укажите, где находится начало системы отсчета и определите, как движутся путник и велосипедист?

Проанализируем уравнение движения путника: $x_1 = 5t$. Сравнивая его с общим видом $x(t) = x_0 + v_x t$, можно заключить, что начальная координата путника $x_{01} = 0$ км. Следовательно, населенный пункт А, из которого вышел путник, принят за начало отсчета (точку 0 на координатной оси).

Проекция скорости путника $v_{x1} = 5$ км/ч. Знак «+» указывает, что путник движется равномерно и прямолинейно в положительном направлении оси Ох.

Теперь проанализируем уравнение движения велосипедиста: $x_2 = 15 - 10t$. Здесь начальная координата $x_{02} = 15$ км. Это значит, что населенный пункт Б, откуда выехал велосипедист, находится в точке с координатой 15 км.

Проекция скорости велосипедиста $v_{x2} = -10$ км/ч. Знак «–» указывает, что велосипедист движется равномерно и прямолинейно в отрицательном направлении оси Ох, то есть в сторону пункта А, навстречу путнику.

Ответ: Начало системы отсчета находится в населенном пункте А. Путник и велосипедист движутся равномерно и прямолинейно навстречу друг другу.

Определите начальные координаты и скорость движения путника и велосипедиста.

Исходя из анализа уравнений движения в предыдущем пункте:

Для путника: начальная координата $x_{01} = 0$ км, проекция скорости $v_{x1} = 5$ км/ч.

Для велосипедиста: начальная координата $x_{02} = 15$ км, проекция скорости $v_{x2} = -10$ км/ч.

Ответ: Начальная координата путника $x_{01} = 0$ км, его скорость $v_1 = 5$ км/ч. Начальная координата велосипедиста $x_{02} = 15$ км, его скорость $v_2 = -10$ км/ч (модуль скорости равен 10 км/ч).

Через какое количество времени они встретятся?

В момент встречи $t_{встр}$ их координаты будут равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

$5t_{встр} = 15 - 10t_{встр}$

$5t_{встр} + 10t_{встр} = 15$

$15t_{встр} = 15$

$t_{встр} = \frac{15}{15} = 1$ ч

Ответ: Они встретятся через 1 час.

Найдите место их встречи.

Для нахождения координаты встречи $x_{встр}$ подставим время встречи $t_{встр} = 1$ ч в любое из двух уравнений движения.

Используя уравнение для путника: $x_{встр} = 5 \cdot t_{встр} = 5 \cdot 1 = 5$ км.

Проверим, подставив в уравнение для велосипедиста: $x_{встр} = 15 - 10 \cdot t_{встр} = 15 - 10 \cdot 1 = 5$ км.

Результаты совпадают.

Ответ: Место встречи находится в точке с координатой 5 км (в 5 км от пункта А).

Какое расстояние и перемещение проделали путник и велосипедист?

Перемещение — это векторная величина, равная разности конечной и начальной координат: $\Delta x = x_{кон} - x_{нач}$. Расстояние — это скалярная величина, равная длине траектории. Так как движение прямолинейное и без смены направления, расстояние равно модулю перемещения $S = |\Delta x|$.

Для путника (до встречи):

Перемещение: $\Delta x_1 = x_{встр} - x_{01} = 5 \text{ км} - 0 \text{ км} = 5$ км.

Расстояние: $S_1 = |\Delta x_1| = 5$ км.

Для велосипедиста (до встречи):

Перемещение: $\Delta x_2 = x_{встр} - x_{02} = 5 \text{ км} - 15 \text{ км} = -10$ км.

Расстояние: $S_2 = |\Delta x_2| = |-10 \text{ км}| = 10$ км.

Ответ: До момента встречи путник проделал перемещение 5 км и прошел расстояние 5 км. Велосипедист проделал перемещение -10 км и прошел расстояние 10 км.

Графическое решение

Для графического решения задачи построим графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для путника и велосипедиста в одной системе координат (ось абсцисс — время $t$ в часах, ось ординат — координата $x$ в километрах).

1. График движения путника $x_1 = 5t$ — это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (1, 5).

2. График движения велосипедиста $x_2 = 15 - 10t$ — это прямая, проходящая через точки (0, 15) и (1, 5).

Точка пересечения этих двух прямых на графике показывает момент времени и координату, когда оба объекта находились в одном и том же месте, то есть их встречу. Координаты точки пересечения — (1; 5).

Это означает, что встреча произошла в момент времени $t = 1$ час в точке с координатой $x = 5$ км.

Ответ: Графическое решение подтверждает результаты, полученные аналитически: время встречи 1 час, место встречи — точка с координатой 5 км.