Номер 8, страница 218 - гдз по физике 7 класс учебник Башарулы, Тезекеев

8. Подъемный кран, КПД которого 90%, поднял со дна водоема стальную балку массой 3,4 т. Сколько времени длился подъем, если глубина водоема – 6 м, а кран развивал мощность при подъёме 2 кВт?

8. Дано:

КПД крана $\eta = 90\%$

Масса стальной балки $m = 3,4$ т

Глубина водоема $h = 6$ м

Развиваемая мощность крана $P_{затр} = 2$ кВт

Плотность воды $\rho_{в} = 1000$ кг/м³ (справочное значение)

Плотность стали $\rho_{с} = 7800$ кг/м³ (справочное значение)

Ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$\eta = 0,9$

$m = 3400$ кг

$P_{затр} = 2000$ Вт

Найти:

Время подъема $t$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) крана определяется отношением полезной работы $A_{п}$ к затраченной работе $A_{з}$:

$\eta = \frac{A_{п}}{A_{з}}$

Затраченная работа $A_{з}$ выражается через развиваемую краном мощность $P_{затр}$ и время работы $t$:

$A_{з} = P_{затр} \cdot t$

Полезная работа $A_{п}$ — это работа по подъему балки на высоту $h$. Так как балку поднимают из воды, необходимо учесть выталкивающую силу Архимеда $F_{А}$. Сила, которую необходимо приложить для подъема балки в воде, равна разности силы тяжести $F_{т}$ и силы Архимеда:

$F_{подъема} = F_{т} - F_{А}$

Сила тяжести, действующая на балку: $F_{т} = m \cdot g$

Сила Архимеда, действующая на балку в воде: $F_{А} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{с}$, где $V_{с}$ — объем балки.

Объем стальной балки можно найти через ее массу $m$ и плотность стали $\rho_{с}$:

$V_{с} = \frac{m}{\rho_{с}}$

Подставив выражение для объема в формулу силы Архимеда, получим: $F_{А} = \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{m}{\rho_{с}}$

Следовательно, сила, необходимая для подъема, равна: $F_{подъема} = m \cdot g - \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{m}{\rho_{с}} = m \cdot g \left(1 - \frac{\rho_{в}}{\rho_{с}}\right)$

Тогда полезная работа по подъему балки на высоту $h$:

$A_{п} = F_{подъема} \cdot h = m \cdot g \cdot h \left(1 - \frac{\rho_{в}}{\rho_{с}}\right)$

Подставим выражения для полезной и затраченной работы в формулу КПД:

$\eta = \frac{m \cdot g \cdot h \left(1 - \frac{\rho_{в}}{\rho_{с}}\right)}{P_{затр} \cdot t}$

Выразим из этой формулы искомое время $t$:

$t = \frac{m \cdot g \cdot h \left(1 - \frac{\rho_{в}}{\rho_{с}}\right)}{\eta \cdot P_{затр}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$t = \frac{3400 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6 \text{ м} \cdot \left(1 - \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}\right)}{0,9 \cdot 2000 \text{ Вт}}$

$t = \frac{199920 \text{ Дж} \cdot \left(1 - \frac{10}{78}\right)}{1800 \text{ Вт}} = \frac{199920 \text{ Дж} \cdot \frac{68}{78}}{1800 \text{ Вт}}$

$t = \frac{199920 \cdot 68}{78 \cdot 1800} \text{ с} = \frac{13594560}{140400} \text{ с} \approx 96,83 \text{ с}$

Округлим полученный результат до целого значения.

Ответ: время подъема балки составило примерно 97 с.