Номер 5, страница 83, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 7. Закон архимеда. Плавание тел. Параграф 66. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 5, страница 83.

Условие.

5. Кубик плавает в воде так, что $\frac{1}{4}$ его объёма находится над водой. Определите плотность кубика. Груз какой максимальной массы может удержать на поверхности этот кубик, прежде чем утонуть, если его масса равна 2 кг?

Решение.

Дано:

Часть объёма кубика над водой: $V_{надв} = \frac{1}{4}V_{куб}$

Масса кубика: $m_{куб} = 2$ кг

Плотность воды (табличное значение): $\rho_{воды} = 1000$ кг/м³

Найти:

$\rho_{куб}$ - плотность кубика?

$m_{груза}$ - максимальная масса груза?

Решение:

Задача состоит из двух частей. Решим их последовательно.

1. Определите плотность кубика.

Когда тело плавает в жидкости, действующая на него сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда). Это условие плавания тела:

$F_{т} = F_{А}$

Сила тяжести, действующая на кубик, равна $F_{т} = m_{куб} \cdot g$. Массу кубика можно выразить через его плотность $\rho_{куб}$ и объём $V_{куб}$: $m_{куб} = \rho_{куб} \cdot V_{куб}$. Тогда сила тяжести:

$F_{т} = \rho_{куб} \cdot V_{куб} \cdot g$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_{А} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр}$, где $V_{погр}$ — объём погружённой части кубика.

По условию задачи, объём части кубика, находящейся над водой, составляет $\frac{1}{4}$ от его общего объёма. Следовательно, объём погружённой в воду части равен:

$V_{погр} = V_{куб} - V_{надв} = V_{куб} - \frac{1}{4}V_{куб} = \frac{3}{4}V_{куб}$

Теперь приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

$\rho_{куб} \cdot V_{куб} \cdot g = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр}$

Подставим выражение для $V_{погр}$:

$\rho_{куб} \cdot V_{куб} \cdot g = \rho_{воды} \cdot g \cdot \frac{3}{4}V_{куб}$

Сократим одинаковые множители $V_{куб}$ и $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_{куб} = \frac{3}{4}\rho_{воды}$

Подставим известное значение плотности воды:

$\rho_{куб} = \frac{3}{4} \cdot 1000 \text{ кг/м³} = 750 \text{ кг/м³}$

Ответ: Плотность кубика равна 750 кг/м³.

2. Груз какой максимальной массы может удержать на поверхности этот кубик, прежде чем утонуть, если его масса равна 2 кг?

Кубик может удержать груз максимальной массы в том случае, когда он будет полностью погружен в воду. В этом предельном состоянии выталкивающая сила достигнет своего максимального значения и будет уравновешивать суммарную силу тяжести кубика и груза.

$F_{А, макс} = F_{т, общ}$

Максимальная выталкивающая сила $F_{А, макс}$ действует, когда весь объём кубика $V_{куб}$ находится под водой:

$F_{А, макс} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{куб}$

Суммарная сила тяжести $F_{т, общ}$ равна сумме сил тяжести кубика и груза:

$F_{т, общ} = (m_{куб} + m_{груза}) \cdot g$

Приравниваем силы:

$\rho_{воды} \cdot g \cdot V_{куб} = (m_{куб} + m_{груза}) \cdot g$

Сокращаем $\text{g}$:

$\rho_{воды} \cdot V_{куб} = m_{куб} + m_{груза}$

Объём кубика $V_{куб}$ можно найти, зная его массу $m_{куб}$ и плотность $\rho_{куб}$, которую мы вычислили в первой части:

$V_{куб} = \frac{m_{куб}}{\rho_{куб}}$

Подставим это выражение в уравнение равновесия:

$\rho_{воды} \cdot \frac{m_{куб}}{\rho_{куб}} = m_{куб} + m_{груза}$

Выразим отсюда искомую массу груза $m_{груза}$:

$m_{груза} = \rho_{воды} \cdot \frac{m_{куб}}{\rho_{куб}} - m_{куб} = m_{куб} \left(\frac{\rho_{воды}}{\rho_{куб}} - 1\right)$

Подставим числовые значения:

$m_{груза} = 2 \text{ кг} \cdot \left(\frac{1000 \text{ кг/м³}}{750 \text{ кг/м³}} - 1\right) = 2 \text{ кг} \cdot \left(\frac{4}{3} - 1\right) = 2 \text{ кг} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \text{ кг}$

Ответ: Максимальная масса груза, который может удержать кубик на поверхности воды, составляет $\frac{2}{3}$ кг (приблизительно 0,67 кг).