Номер 29, страница 62, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Глава III. Движение и взаимодействие тел. Параграф 7. Механическое движение - номер 29, страница 62.

Условие.

29. Саша везёт тачку с двумя колёсами и поворачивает налево под прямым углом. Какое колесо (левое или правое) прошло во время поворота больший путь? Насколько больший? Расстояние между колёсами тачки 40 см.

Решение.

Дано:

Угол поворота, $\alpha = 90^\circ$
Расстояние между колесами, $d = 40$ см

Перевод в систему СИ:
$d = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$
Угол поворота в радианах: $\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ рад

Найти:

1. Какое колесо (левое или правое) прошло больший путь?
2. Насколько больший путь ($\Delta S$)?

Решение:

Когда Саша поворачивает тачку налево, каждое из колес движется по дуге окружности. Так как поворот осуществляется налево, левое колесо будет внутренним, а правое — внешним по отношению к центру поворота. Траектории колес представляют собой дуги концентрических окружностей.

Радиус траектории внешнего (правого) колеса $R_{п}$ больше радиуса траектории внутреннего (левого) колеса $R_{л}$. Длина дуги (пройденный путь $\text{S}$) вычисляется по формуле $S = R \cdot \theta$, где $\text{R}$ — радиус дуги, а $\theta$ — центральный угол в радианах.

Поскольку угол поворота для обоих колес одинаков, а радиус траектории правого колеса больше ($R_п > R_л$), то и путь, пройденный правым колесом ($S_п$), будет больше пути, пройденного левым колесом ($S_л$). Следовательно, больший путь прошло правое колесо.

Теперь найдем, на сколько путь правого колеса больше. Разница между радиусами траекторий равна расстоянию между колесами:$R_п = R_л + d$

Путь, пройденный левым колесом: $S_л = R_л \cdot \theta$
Путь, пройденный правым колесом: $S_п = R_п \cdot \theta = (R_л + d) \cdot \theta$

Разница в пройденных путях $\Delta S$ составляет:$\Delta S = S_п - S_л = (R_л + d) \cdot \theta - R_л \cdot \theta = R_л \cdot \theta + d \cdot \theta - R_л \cdot \theta = d \cdot \theta$

Угол поворота составляет $90^\circ$, что в радианах равно $\frac{\pi}{2}$. Подставим известные значения в формулу:$\Delta S = d \cdot \frac{\pi}{2} = 40 \text{ см} \cdot \frac{\pi}{2} = 20\pi \text{ см}$

Для получения численного значения, примем $\pi \approx 3.14$:$\Delta S \approx 20 \cdot 3.14 = 62.8 \text{ см}$

Ответ: больший путь прошло правое колесо; оно прошло на $20\pi$ см (что приблизительно равно 62.8 см) больше, чем левое.