Номер 20, страница 104, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Глава III. Движение и взаимодействие тел. Параграф 13. Силы в механике. Сила упругости - номер 20, страница 104.

Условие.

20. Когда пружину растягивают силой 1 Н, длина пружины равна 10 см, а когда ту же пружину растягивают силой 0,6 Н, длина пружины равна 8 см.

а) Обозначьте жёсткость пружины $\text{k}$, длину недеформированной пружины $l_0$, длину растянутой пружины в первом случае $l_1$, а силу упругости — $F_1$. Запишите соотношение между этими величинами, следующее из закона Гука.

б) Запишите аналогичное соотношение для растянутой пружины во втором случае.

в) Рассмотрите полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными: $l_0$ и $\text{k}$. Выразите $l_0$ и $\text{k}$ через известные величины.

г) Вычислите значения $l_0$ и $\text{k}$.

Решение.

Дано:

$F_1 = 1$ Н

$l_1 = 10$ см = $0.1$ м

$F_2 = 0.6$ Н

$l_2 = 8$ см = $0.08$ м

Найти:

$l_0$ - ?

$\text{k}$ - ?

Решение:

а) Закон Гука гласит, что сила упругости, возникающая в пружине при её деформации, пропорциональна удлинению пружины. Удлинение пружины в первом случае равно $\Delta l_1 = l_1 - l_0$. Сила упругости $F_1$ уравновешивает растягивающую силу. Таким образом, соотношение между величинами будет следующим:

$F_1 = k \cdot (l_1 - l_0)$

Ответ: $F_1 = k \cdot (l_1 - l_0)$

б) Аналогично первому случаю, для второго случая удлинение пружины равно $\Delta l_2 = l_2 - l_0$. Сила упругости $F_2$ уравновешивает растягивающую силу. Соотношение для второго случая будет:

$F_2 = k \cdot (l_2 - l_0)$

Ответ: $F_2 = k \cdot (l_2 - l_0)$

в) Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\text{k}$ и $l_0$:

$\begin{cases} F_1 = k \cdot (l_1 - l_0) \\ F_2 = k \cdot (l_2 - l_0) \end{cases}$

Выразим $\text{k}$ из первого уравнения: $k = \frac{F_1}{l_1 - l_0}$.

Выразим $\text{k}$ из второго уравнения: $k = \frac{F_2}{l_2 - l_0}$.

Приравняем правые части: $\frac{F_1}{l_1 - l_0} = \frac{F_2}{l_2 - l_0}$.

Решим это уравнение относительно $l_0$:

$F_1 \cdot (l_2 - l_0) = F_2 \cdot (l_1 - l_0)$

$F_1 l_2 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_2 l_0$

$F_2 l_0 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_1 l_2$

$l_0(F_2 - F_1) = F_2 l_1 - F_1 l_2$

$l_0 = \frac{F_2 l_1 - F_1 l_2}{F_2 - F_1}$

Теперь найдем выражение для $\text{k}$. Вычтем второе уравнение системы из первого:

$F_1 - F_2 = k(l_1 - l_0) - k(l_2 - l_0)$

$F_1 - F_2 = k(l_1 - l_0 - l_2 + l_0)$

$F_1 - F_2 = k(l_1 - l_2)$

$k = \frac{F_1 - F_2}{l_1 - l_2}$

Ответ: $l_0 = \frac{F_2 l_1 - F_1 l_2}{F_2 - F_1}$; $k = \frac{F_1 - F_2}{l_1 - l_2}$

г) Подставим числовые значения в полученные формулы, используя данные в системе СИ.

Вычислим жёсткость пружины $\text{k}$:

$k = \frac{1 \text{ Н} - 0.6 \text{ Н}}{0.1 \text{ м} - 0.08 \text{ м}} = \frac{0.4 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 20 \text{ Н/м}$

Вычислим длину недеформированной пружины $l_0$:

$l_0 = \frac{0.6 \text{ Н} \cdot 0.1 \text{ м} - 1 \text{ Н} \cdot 0.08 \text{ м}}{0.6 \text{ Н} - 1 \text{ Н}} = \frac{0.06 - 0.08}{-0.4} \text{ м} = \frac{-0.02}{-0.4} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Переведем длину в сантиметры: $0.05 \text{ м} = 5 \text{ см}$.

Ответ: $l_0 = 0.05 \text{ м} \text{ (или } 5 \text{ см)}$; $k = 20 \text{ Н/м}$