Номер 15, страница 60, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава V. Работа, мощность, энергия. Параграф 22. Механическая работа. Мощность - номер 15, страница 60.

Условие.

15. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью утопить плавающую на поверхности воды плоскую льдину толщиной 10 см и массой 90 кг?

Решение.

Дано:

$m = 90$ кг (масса льдины)

$h = 10$ см (толщина льдины)

Примем справочные значения:

$\rho_в = 1000$ кг/м³ (плотность пресной воды)

$\rho_л = 900$ кг/м³ (плотность льда)

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$A_{min}$ — минимальную работу по утоплению льдины.

Решение:

Минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы утопить льдину, равна работе внешней силы против равнодействующей силы тяжести и выталкивающей силы Архимеда. Процесс должен быть квазистатическим (медленным), чтобы кинетическая энергия льдины не изменялась.

1. Начальное состояние.

Когда льдина плавает, действующая на нее сила тяжести $F_g$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_{A1}$:

$F_g = F_{A1}$

$m \cdot g = \rho_в \cdot g \cdot V_{подв1}$

где $V_{подв1}$ — объем погруженной части льдины.

Отсюда $V_{подв1} = \frac{m}{\rho_в}$.

2. Определение параметров льдины.

Пусть $\text{S}$ — площадь плоской льдины, а $\text{h}$ — ее толщина. Масса льдины связана с ее объемом $V=S \cdot h$ и плотностью $\rho_л$:

$m = \rho_л \cdot S \cdot h$

Отсюда можно выразить площадь льдины:

$S = \frac{m}{\rho_л \cdot h}$

Объем погруженной части также равен $V_{подв1} = S \cdot h_1$, где $h_1$ — начальная глубина погружения.

Тогда $h_1 = \frac{V_{подв1}}{S} = \frac{m/\rho_в}{m/(\rho_л h)} = \frac{\rho_л}{\rho_в} h$.

3. Работа по погружению.

Чтобы погрузить льдину глубже на величину $\text{x}$, нужно приложить внешнюю силу $F_{внеш}$, которая скомпенсирует избыток силы Архимеда над силой тяжести. Текущая сила Архимеда при погружении на $\text{x}$ равна $F_A(x) = \rho_в g S(h_1+x)$.

Внешняя сила $F_{внеш}(x) = F_A(x) - F_g = \rho_в g S(h_1+x) - mg$.

Поскольку $mg = F_{A1} = \rho_в g S h_1$, получаем:

$F_{внеш}(x) = \rho_в g S(h_1+x) - \rho_в g S h_1 = \rho_в g S x$

Чтобы утопить льдину полностью, нужно погрузить ее надводную часть. Перемещение $\text{x}$ будет меняться от $\text{0}$ до $h-h_1$.

Работа вычисляется как интеграл силы по перемещению:

$A = \int_{0}^{h-h_1} F_{внеш}(x) dx = \int_{0}^{h-h_1} (\rho_в g S x) dx = \rho_в g S \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{h-h_1} = \frac{1}{2}\rho_в g S (h-h_1)^2$

4. Вычисления.

Найдем численные значения необходимых величин:

Площадь льдины:

$S = \frac{90 \text{ кг}}{900 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.1 \text{ м}} = 1 \text{ м}^2$

Начальная глубина погружения:

$h_1 = \frac{900 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} \cdot 0.1 \text{ м} = 0.09 \text{ м}$

Перемещение, необходимое для полного погружения:

$h - h_1 = 0.1 \text{ м} - 0.09 \text{ м} = 0.01 \text{ м}$

Теперь вычислим работу:

$A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1 \text{ м}^2 \cdot (0.01 \text{ м})^2$

$A = 4900 \cdot 0.0001 = 0.49 \text{ Дж}$

Ответ: Минимальная работа, которую надо совершить, чтобы полностью утопить льдину, составляет 0.49 Дж.