Номер 27, страница 75, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава V. Работа, мощность, энергия. Параграф 23. Простые механизмы. Рычаг - номер 27, страница 75.

Условие.

27. На двух брёвнах, расстояние между которыми равно 1 м, лежит доска массой 10 кг. Центр тяжести доски находится в её середине. Доска давит на левое бревно с силой 40 Н. С какой силой доска давит на правое бревно? На каком расстоянии от середины доски расположено левое бревно?

Решение.

Дано:

Расстояние между брёвнами, $L = 1$ м
Масса доски, $m = 10$ кг
Сила давления на левое бревно, $F_1 = 40$ Н
Центр тяжести доски находится в её середине.
Примем ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Система СИ:
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

1. Силу давления на правое бревно, $F_2$ - ?
2. Расстояние от середины доски до левого бревна, $x_1$ - ?

Решение:

Доска находится в состоянии статического равновесия. Это означает, что должны выполняться два условия равновесия:

1. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения равна нулю.

На доску действуют три вертикальные силы: сила тяжести $F_g$, приложенная к центру тяжести (середине) доски и направленная вниз; сила реакции левой опоры (бревна) $N_1$, направленная вверх; и сила реакции правой опоры (бревна) $N_2$, направленная вверх.

По третьему закону Ньютона, сила, с которой доска давит на опору ($F_1$ и $F_2$), равна по модулю силе реакции опоры ($N_1$ и $N_2$). Таким образом, $N_1 = F_1 = 40$ Н. Сила давления на правое бревно, которую нам нужно найти, равна $F_2 = N_2$.

С какой силой доска давит на правое бревно?

Для нахождения силы $F_2$ воспользуемся первым условием равновесия. Сначала вычислим силу тяжести, действующую на доску:

$F_g = m \cdot g = 10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 100 \text{ Н}$

Запишем уравнение равновесия сил в проекции на вертикальную ось (ось Y, направленную вверх):

$\sum F_y = 0$

$N_1 + N_2 - F_g = 0$

Отсюда, сумма сил реакции опор равна силе тяжести:

$N_1 + N_2 = F_g$

Подставим известные значения и найдём $N_2$:

$40 \text{ Н} + N_2 = 100 \text{ Н}$

$N_2 = 100 \text{ Н} - 40 \text{ Н} = 60 \text{ Н}$

Так как $F_2 = N_2$, то сила, с которой доска давит на правое бревно, составляет 60 Н.

Ответ: 60 Н.

На каком расстоянии от середины доски расположено левое бревно?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся вторым условием равновесия — равенством моментов сил. В качестве оси вращения удобно выбрать центр тяжести доски (её середину). Момент силы тяжести $F_g$ относительно этой оси равен нулю, так как её плечо равно нулю.

Пусть $x_1$ — искомое расстояние от середины доски до левого бревна, а $x_2$ — расстояние от середины доски до правого бревна. Условие равновесия моментов (правило рычага) для выбранной оси вращения запишется так:

$\sum M = 0$

$M_1 - M_2 = 0 \implies M_1 = M_2$

где $M_1$ — момент силы $N_1$, а $M_2$ — момент силы $N_2$.

$N_1 \cdot x_1 = N_2 \cdot x_2$

Из условия задачи известно, что расстояние между брёвнами $L = 1 \text{ м}$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = 1 \text{ м}$

Из этого соотношения выразим $x_2$: $x_2 = 1 - x_1$.

Теперь подставим это выражение и значения сил $N_1$ и $N_2$ в уравнение моментов:

$40 \cdot x_1 = 60 \cdot (1 - x_1)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_1$:

$40 x_1 = 60 - 60 x_1$

$40 x_1 + 60 x_1 = 60$

$100 x_1 = 60$

$x_1 = \frac{60}{100} = 0.6 \text{ м}$

Таким образом, левое бревно расположено на расстоянии 0,6 м от середины доски.

Ответ: 0,6 м.