Номер 28, страница 75, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава V. Работа, мощность, энергия. Параграф 23. Простые механизмы. Рычаг - номер 28, страница 75.

Условие.

28. Когда груз подвешен к короткому плечу рычага, его уравновешивает гиря массой 1 кг, подвешенная к длинному плечу, а когда тот же груз подвешен к длинному плечу рычага, его уравновешивает гиря массой 9 кг, подвешенная к короткому плечу. Чему равна масса этого груза?

Решение.

Дано:

$m_1 = 1$ кг

$m_2 = 9$ кг

Найти:

$m_{груза}$ - ?

Решение:

Обозначим массу искомого груза как $m_{груза}$, длину короткого плеча рычага как $l_{к}$, а длину длинного плеча как $l_{д}$.

Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи. Момент силы определяется как произведение модуля силы на длину плеча: $M = F \cdot l$. Силой в данном случае является вес тела $F = m \cdot g$.

Для рычага в равновесии моменты сил, вращающих его по часовой стрелке и против часовой стрелки, равны: $M_1 = M_2$, что приводит к уравнению $F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$. Подставив выражения для сил, получаем: $m_1 \cdot g \cdot l_1 = m_2 \cdot g \cdot l_2$. Ускорение свободного падения $\text{g}$ сокращается, и условие равновесия для масс принимает вид: $m_1 \cdot l_1 = m_2 \cdot l_2$.

Рассмотрим первую ситуацию, описанную в задаче: груз ($m_{груза}$) подвешен к короткому плечу ($l_{к}$), а гиря массой $m_1 = 1$ кг — к длинному ($l_{д}$). Запишем условие равновесия для этого случая:

$m_{груза} \cdot l_{к} = m_1 \cdot l_{д}$

$m_{груза} \cdot l_{к} = 1 \cdot l_{д}$ (1)

Теперь рассмотрим вторую ситуацию: тот же груз ($m_{груза}$) подвешен к длинному плечу ($l_{д}$), а гиря массой $m_2 = 9$ кг — к короткому ($l_{к}$). Условие равновесия для этого случая будет:

$m_2 \cdot l_{к} = m_{груза} \cdot l_{д}$

$9 \cdot l_{к} = m_{груза} \cdot l_{д}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Из первого уравнения выразим длину длинного плеча $l_{д}$ через короткое $l_{к}$:

$l_{д} = m_{груза} \cdot l_{к}$

Подставим это выражение для $l_{д}$ во второе уравнение:

$9 \cdot l_{к} = m_{груза} \cdot (m_{груза} \cdot l_{к})$

$9 \cdot l_{к} = m_{груза}^2 \cdot l_{к}$

Так как длина короткого плеча $l_{к}$ не может быть равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $l_{к}$:

$m_{груза}^2 = 9$

Извлекая квадратный корень, находим массу груза (масса не может быть отрицательной, поэтому берем только положительное значение):

$m_{груза} = \sqrt{9} = 3$ кг

Ответ: масса груза равна 3 кг.