Номер 24, страница 74, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава V. Работа, мощность, энергия. Параграф 23. Простые механизмы. Рычаг - номер 24, страница 74.

Условие.

24. На каком расстоянии от середины лёгкого стержня длиной 1 м надо подвесить его, чтобы он находился в равновесии в горизонтальном положении, если к концам стержня подвешены грузы массами 7 и 13 кг?

Решение.

Дано:

$L = 1$ м

$m_1 = 7$ кг

$m_2 = 13$ кг

Найти:

$\text{x}$ - расстояние от середины стержня до точки подвеса.

Решение:

Для того чтобы стержень находился в равновесии, необходимо, чтобы сумма моментов сил, действующих на него относительно точки опоры (подвеса), была равна нулю. Так как стержень лёгкий, его весом можно пренебречь. На стержень действуют две силы: сила тяжести первого груза $F_1 = m_1g$ и сила тяжести второго груза $F_2 = m_2g$.

Пусть точка подвеса находится на расстоянии $d_1$ от груза массой $m_1$ и на расстоянии $d_2$ от груза массой $m_2$. Плечо силы $F_1$ равно $d_1$, а плечо силы $F_2$ равно $d_2$.

Условие равновесия (правило моментов) записывается как равенство моментов сил, вращающих стержень в противоположных направлениях:

$M_1 = M_2$

$F_1 d_1 = F_2 d_2$

Подставим выражения для сил:

$m_1 g d_1 = m_2 g d_2$

Сократив на $\text{g}$, получаем соотношение:

$m_1 d_1 = m_2 d_2$

Так как грузы подвешены к концам стержня, сумма расстояний от точки подвеса до концов равна длине стержня:

$d_1 + d_2 = L$

Мы получили систему из двух уравнений. Подставим в неё известные значения: $L = 1$ м, $m_1 = 7$ кг, $m_2 = 13$ кг.

$7 d_1 = 13 d_2$

$d_1 + d_2 = 1$

Из второго уравнения выразим $d_1 = 1 - d_2$ и подставим в первое уравнение:

$7(1 - d_2) = 13 d_2$

$7 - 7d_2 = 13d_2$

$7 = 20d_2$

$d_2 = \frac{7}{20} = 0.35$ м.

Теперь найдём $d_1$:

$d_1 = 1 - d_2 = 1 - 0.35 = 0.65$ м.

Точка подвеса находится на расстоянии 0.65 м от груза массой 7 кг и на расстоянии 0.35 м от груза массой 13 кг.

Середина стержня находится на расстоянии $\frac{L}{2} = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0.5$ м от каждого конца.

Вопрос задачи — найти расстояние $\text{x}$ от середины стержня до точки подвеса. Для этого найдём разность между положением точки подвеса и положением середины, отсчитывая от одного и того же конца стержня (например, от того, где подвешен груз $m_1$):

$x = |d_1 - \frac{L}{2}| = |0.65 \text{ м} - 0.5 \text{ м}| = 0.15$ м.

Расстояние от середины до точки подвеса составляет 0.15 м (в сторону более тяжелого груза).

Ответ: 0.15 м.