Номер 3, страница 143, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Параграф 4. Физические величины и их измерение - номер 3, страница 143.

Условие.

3. Стальная Эйфелева башня высотой 300 м имеет массу 7300 т. Чтобы оценить «ажурность» этой постройки, представьте, что изготовлена уменьшенная стальная копия этой башни высотой 30 см. Чему была бы равна масса такой копии?

Решение.

Дано:

Высота Эйфелевой башни $H_1 = 300 \text{ м}$

Масса Эйфелевой башни $m_1 = 7300 \text{ т} = 7300 \cdot 1000 \text{ кг} = 7.3 \cdot 10^6 \text{ кг}$

Высота копии башни $H_2 = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Массу копии башни $m_2$.

Решение:

Масса любого тела определяется через его плотность и объем по формуле $m = \rho \cdot V$. Поскольку и оригинальная башня, и ее уменьшенная копия сделаны из одного и того же материала (стали), их плотности $\rho$ одинаковы.

Запишем формулы для масс оригинальной башни ($m_1$) и ее копии ($m_2$):

$m_1 = \rho \cdot V_1$

$m_2 = \rho \cdot V_2$

где $V_1$ и $V_2$ – объемы башни и копии соответственно.

Выразим отношение масс:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{\rho \cdot V_2}{\rho \cdot V_1} = \frac{V_2}{V_1}$

Уменьшенная копия является геометрически подобной оригиналу. Для подобных тел отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответствующих линейных размеров (например, высот).

$\frac{V_2}{V_1} = (\frac{H_2}{H_1})^3$

Объединив два полученных выражения, получаем зависимость отношения масс от отношения высот:

$\frac{m_2}{m_1} = (\frac{H_2}{H_1})^3$

Отсюда можем найти массу копии $m_2$:

$m_2 = m_1 \cdot (\frac{H_2}{H_1})^3$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$m_2 = 7.3 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot (\frac{0.3 \text{ м}}{300 \text{ м}})^3 = 7.3 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot (\frac{1}{1000})^3 = 7.3 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot (10^{-3})^3$

$m_2 = 7.3 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot 10^{-9} = 7.3 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Переведем результат в граммы для большей наглядности:

$m_2 = 7.3 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 7.3 \text{ г}$

Ответ: масса уменьшенной копии башни была бы равна 7,3 г.