Номер 2, страница 144, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Параграф 7. Механическое движение - номер 2, страница 144.

Условие.

2. Велосипедное колесо катится без проскальзывания по ровной прямой дороге со скоростью $\text{v}$. Точка $\text{O}$ на ободе колеса в начальный момент времени соприкасается с землёй. Нарисуйте примерную траекторию её движения относительно земли.

Решение.

Решение

Движение точки $\text{O}$ на ободе колеса является сложным. Его можно представить как сумму двух движений: поступательного движения вместе с центром колеса и вращательного движения вокруг центра колеса.

1. Поступательное движение: Все точки колеса, включая его центр и точку $\text{O}$, движутся горизонтально со скоростью $\text{v}$.
2. Вращательное движение: Точка $\text{O}$ вращается вокруг центра колеса с некоторой угловой скоростью $\omega$. Поскольку колесо катится без проскальзывания, линейная скорость точек на ободе относительно центра равна скорости поступательного движения центра: $v_{вр} = \omega R = v$, где $\text{R}$ — радиус колеса.

Траектория, которую описывает точка на ободе катящегося без проскальзывания колеса, называется циклоидой.

В начальный момент времени ($t=0$) точка $\text{O}$ находится на земле. В этот момент её скорость равна нулю. Это происходит потому, что скорость поступательного движения ($\text{v}$, направлена вперёд) и скорость вращательного движения ($v_{вр}$, направлена назад) в нижней точке колеса равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их векторная сумма равна нулю: $\vec{v} + \vec{v}_{вр} = 0$.

Когда колесо совершает полоборота, точка $\text{O}$ оказывается в самой верхней точке на высоте $\text{2R}$. В этой точке её скорость максимальна и равна $\text{2v}$, так как скорости поступательного и вращательного движений сонаправлены: $\vec{v} + \vec{v}_{вр} = 2\vec{v}$.

После полного оборота колеса точка $\text{O}$ снова касается земли на расстоянии $2\pi R$ (длина окружности колеса) от начальной точки. Траектория представляет собой последовательность арок.

Параметрические уравнения движения точки $\text{O}$ в системе координат, где ось $\text{x}$ — дорога, а ось $\text{y}$ направлена вертикально вверх, с началом в точке старта, имеют вид:
$x(t) = v t - R \sin(\omega t) = R(\omega t - \sin(\omega t))$
$y(t) = R - R \cos(\omega t) = R(1 - \cos(\omega t))$
где $\omega = v/R$.

Примерный вид траектории (одна арка циклоиды):

Траектория имеет характерные заострения (каспы) в точках касания с землёй, где скорость точки мгновенно становится равной нулю.

Ответ: Траектория движения точки на ободе колеса, катящегося без проскальзывания, представляет собой кривую, называемую циклоидой. Она состоит из повторяющихся арок, высота которых равна диаметру колеса ($\text{2R}$), а длина основания каждой арки равна длине окружности колеса ($2\pi R$). В моменты касания земли скорость точки равна нулю.