Номер 4, страница 144, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Параграф 8. Прямолинейное равномерное движение - номер 4, страница 144.

Условие.

4. Саша и его младшая сестра Таня плывут по реке против течения на моторной лодке. Когда лодка проплывала мимо лодочной станции, Таня уронила в воду мячик. Через час она обнаружила пропажу и заплакала. «Тише, Танечка, не плачь, не утонет в речке мяч!» — попросил Саша и тотчас же развернул лодку. Чему равна скорость течения, если Саша и Таня подобрали мяч на 4 км ниже лодочной станции? Скорость лодки относительно воды оставалась постоянной.

Решение.

Дано:

Время движения лодки против течения после потери мяча, $t_1 = 1$ час.

Расстояние от лодочной станции до места встречи, $S = 4$ км.

Перевод в систему СИ:
$t_1 = 1 \text{ час} = 3600 \text{ с}$
$S = 4 \text{ км} = 4000 \text{ м}$

Найти:

Скорость течения реки, $v_т$.

Решение:

Задачу можно решить, составив уравнения движения для лодки и мяча в системе отсчета, связанной с берегом (лодочной станцией). Примем лодочную станцию за начало координат ($x=0$), а направление по течению реки — за положительное направление оси $\text{x}$.

Введем обозначения:

• $v_л$ – скорость лодки относительно воды (собственная скорость);
• $v_т$ – скорость течения реки;
• $t_1 = 1$ час – время, которое лодка плыла против течения после того, как мяч был упущен;
• $t_2$ – время, которое лодка плыла по течению, догоняя мяч.

1. Движение мяча. Мяч был упущен в точке $x=0$ в момент времени $t=0$. Он плывет по течению, поэтому его скорость относительно берега равна скорости течения $v_т$. Координата мяча в любой момент времени $\text{t}$ определяется формулой:

$x_{мяча}(t) = v_т \cdot t$

2. Движение лодки.

Этап 1: движение против течения (время $t_1$).

Скорость лодки относительно берега равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_л - v_т$. Так как лодка движется против течения (в отрицательном направлении оси $\text{x}$), ее скорость будет $-(v_л - v_т)$. За время $t_1$ лодка достигнет координаты:

$x_{лодки, 1} = -(v_л - v_т) \cdot t_1$

Этап 2: движение по течению (время $t_2$).

Лодка разворачивается и движется по течению. Ее скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_л + v_т$. Лодка движется в течение времени $t_2$ до встречи с мячом. Общее время с момента потери мяча до встречи составит $t_{встр} = t_1 + t_2$. Координата лодки в момент встречи будет:

$x_{лодки, 2} = x_{лодки, 1} + (v_л + v_т) \cdot t_2 = -(v_л - v_т) \cdot t_1 + (v_л + v_т) \cdot t_2$

3. Условие встречи. В момент встречи координаты мяча и лодки совпадают:

$x_{мяча}(t_{встр}) = x_{лодки, 2}$

$v_т \cdot (t_1 + t_2) = -(v_л - v_т) \cdot t_1 + (v_л + v_т) \cdot t_2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_т t_1 + v_т t_2 = -v_л t_1 + v_т t_1 + v_л t_2 + v_т t_2$

Сократим одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения ($v_т t_1$ и $v_т t_2$):

$0 = -v_л t_1 + v_л t_2$

$v_л t_1 = v_л t_2$

Поскольку собственная скорость лодки $v_л$ не равна нулю, мы можем разделить обе части на $v_л$. Получаем:

$t_1 = t_2$

Это означает, что время, которое лодка затратила на движение от мяча, равно времени, которое она затратила на возвращение к нему.

4. Нахождение скорости течения.

Из условия задачи мы знаем, что $t_1 = 1$ час. Следовательно, $t_2 = 1$ час.

Общее время, которое мяч находился в воде до встречи с лодкой, равно:

$t_{встр} = t_1 + t_2 = 1 \text{ час} + 1 \text{ час} = 2 \text{ часа}$

За это время мяч, двигаясь со скоростью течения $v_т$, проплыл расстояние $S = 4$ км от лодочной станции. Используем формулу пути:

$S = v_т \cdot t_{встр}$

Подставим известные значения и выразим $v_т$:

$4 \text{ км} = v_т \cdot 2 \text{ часа}$

$v_т = \frac{4 \text{ км}}{2 \text{ часа}} = 2 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.