Номер 2, страница 146, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Параграф 10. Неравномерное движение - номер 2, страница 146.

Условие.

2. Миша и Саша должны оба как можно быстрее добраться до города, находящегося от их посёлка на расстоянии 30 км. У них есть один велосипед на двоих. Скорость движения на велосипеде 15 км/ч, а скорость ходьбы 5 км/ч. Как мальчикам организовать своё движение, чтобы как можно скорее одновременно добраться до города? Сколько времени им потребуется для этого? Примите, что велосипед можно оставлять у дороги.

Решение.

Дано

Расстояние до города, $S = 30$ км
Скорость движения на велосипеде, $v_в = 15$ км/ч
Скорость ходьбы (пешком), $v_п = 5$ км/ч

Перевод в систему СИ:
$S = 30 \cdot 1000 = 30000$ м
$v_в = 15 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{150}{36} = \frac{25}{6} \approx 4,17$ м/с
$v_п = 5 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18} \approx 1,39$ м/с

Найти:

1. Оптимальную организацию движения мальчиков.
2. Минимальное время $\text{T}$, за которое они доберутся до города.

Решение

Чтобы Миша и Саша прибыли в город одновременно и в кратчайшее время, их движение должно быть организовано наиболее эффективно. Оптимальная стратегия заключается в том, что ни один из мальчиков не должен простаивать или двигаться в обратном направлении. Велосипед также должен использоваться для движения только вперед, к городу.

Рассмотрим следующую стратегию:

1. Миша начинает движение на велосипеде, а Саша одновременно с ним выходит из посёлка пешком.

2. Проехав некоторое расстояние $\text{x}$, Миша оставляет велосипед у дороги и продолжает путь в город пешком.

3. Саша, дойдя до места, где оставлен велосипед, садится на него и едет до города.

Для того чтобы они прибыли одновременно, общее время в пути у них должно быть одинаковым. Обозначим общее время как $\text{T}$.

Время, которое затратит Миша на весь путь, складывается из времени езды на велосипеде и времени ходьбы:

$T_{Миша} = \frac{x}{v_в} + \frac{S - x}{v_п}$

Время, которое затратит Саша, складывается из времени ходьбы и времени езды на велосипеде:

$T_{Саша} = \frac{x}{v_п} + \frac{S - x}{v_в}$

По условию, они должны прибыть одновременно, следовательно, $T_{Миша} = T_{Саша} = T$.

$\frac{x}{v_в} + \frac{S - x}{v_п} = \frac{x}{v_п} + \frac{S - x}{v_в}$

Сгруппируем слагаемые с $\text{x}$ в одной части уравнения, а с $\text{S}$ — в другой:

$\frac{x}{v_в} - \frac{S - x}{v_в} = \frac{x}{v_п} - \frac{S - x}{v_п}$

$\frac{x - (S - x)}{v_в} = \frac{x - (S - x)}{v_п}$

$\frac{2x - S}{v_в} = \frac{2x - S}{v_п}$

Поскольку скорости $v_в$ и $v_п$ не равны ($15 \neq 5$), это равенство может выполняться только в том случае, если числитель равен нулю:

$2x - S = 0$

$2x = S \implies x = \frac{S}{2}$

Таким образом, для одновременного прибытия Миша должен оставить велосипед ровно на полпути.

$x = \frac{30 \text{ км}}{2} = 15$ км.

Теперь рассчитаем общее время в пути $\text{T}$, подставив найденное значение $\text{x}$ в формулу для времени любого из мальчиков. Возьмем формулу для времени Миши:

$T = \frac{15 \text{ км}}{v_в} + \frac{30 \text{ км} - 15 \text{ км}}{v_п} = \frac{15}{15} + \frac{15}{5} = 1 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 4$ часа.

Проверим по времени Саши:

$T = \frac{15 \text{ км}}{v_п} + \frac{30 \text{ км} - 15 \text{ км}}{v_в} = \frac{15}{5} + \frac{15}{15} = 3 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 4$ часа.

Времена совпадают, значит, решение верное.

Опишем оптимальную организацию движения:

1. Миша выезжает на велосипеде, а Саша одновременно выходит пешком.

2. Миша едет на велосипеде 15 км (половину пути), что занимает у него $15/15 = 1$ час. В точке 15 км он оставляет велосипед и дальше идёт пешком. Оставшиеся 15 км он пройдет за $15/5 = 3$ часа. Общее время в пути для Миши: $1+3=4$ часа.

3. Саша идёт пешком 15 км до места, где Миша оставил велосипед. Это займёт у него $15/5 = 3$ часа. К этому моменту Миша уже 2 часа как идёт пешком.

4. Взяв велосипед, Саша проезжает на нём оставшиеся 15 км, что занимает у него $15/15 = 1$ час. Общее время в пути для Саши: $3+1=4$ часа.

В результате оба мальчика прибудут в город одновременно через 4 часа.

Ответ:

Чтобы как можно скорее и одновременно добраться до города, мальчики должны организовать свое движение следующим образом: один из них (например, Миша) должен проехать на велосипеде первую половину пути (15 км), оставить велосипед и пройти оставшуюся половину (15 км) пешком. Второй (Саша) должен первую половину пути (15 км) пройти пешком, а затем, взяв оставленный велосипед, проехать на нём вторую половину пути (15 км).

Для этого им потребуется 4 часа.