Номер 3, страница 146, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Параграф 10. Неравномерное движение - номер 3, страница 146.

Условие.

3. Саша, Миша и Вася должны как можно быстрее добраться до города, находящегося от их посёлка на расстоянии 48 км. У мальчиков есть два велосипеда. Какое наименьшее время им для этого понадобится, если скорость езды на велосипеде 16 км/ч, а скорость быстрой ходьбы 8 км/ч? Велосипед можно оставлять у дороги.

Решение.

Дано:

Расстояние до города, $S = 48$ км

Количество мальчиков, $N = 3$

Количество велосипедов, $K = 2$

Скорость езды на велосипеде, $v_b = 16$ км/ч

Скорость быстрой ходьбы, $v_w = 8$ км/ч

Найти:

Наименьшее время, за которое мальчики доберутся до города, $T_{min}$.

Решение:

Для того чтобы все трое добрались до города за наименьшее возможное время, они должны прибыть в пункт назначения одновременно. Если кто-то прибудет раньше, это будет означать, что ресурсы (велосипеды) использовались не оптимально, так как он мог бы помочь остальным, сократив общее время. Обозначим это минимальное время как $\text{T}$.

Поскольку все мальчики прибывают одновременно, время в пути для каждого из них одинаково и равно $\text{T}$. Также можно предположить, что для оптимального решения каждый мальчик должен преодолеть одинаковое расстояние на велосипеде ($d_b$) и пешком ($d_w$).

Пусть $t_b$ — это время, которое каждый мальчик едет на велосипеде, а $t_w$ — время, которое он идет пешком. Тогда для каждого мальчика справедливы следующие уравнения:

Общее время в пути:

$T = t_b + t_w$

Общее пройденное расстояние:

$S = d_b + d_w = v_b t_b + v_w t_w$

Из первого уравнения выразим $t_w = T - t_b$ и подставим его во второе уравнение:

$S = v_b t_b + v_w (T - t_b)$

$S = v_b t_b + v_w T - v_w t_b$

$S - v_w T = t_b (v_b - v_w)$

Отсюда найдем время, которое каждый мальчик должен провести на велосипеде:

$t_b = \frac{S - v_w T}{v_b - v_w}$

Общее время, в течение которого все три мальчика используют велосипеды, составляет $3 \cdot t_b$. В их распоряжении есть два велосипеда. Чтобы время в пути было минимальным, велосипеды должны использоваться максимально эффективно, то есть всё время $\text{T}$. Суммарное время, которое два велосипеда могут быть в движении, составляет $2 \cdot T$.

Следовательно, для достижения минимального времени должно выполняться равенство:

$3 t_b = 2T$

Отсюда $t_b = \frac{2T}{3}$.

Теперь у нас есть два выражения для $t_b$. Приравняем их:

$\frac{2T}{3} = \frac{S - v_w T}{v_b - v_w}$

Решим это уравнение относительно $\text{T}$:

$2T(v_b - v_w) = 3(S - v_w T)$

$2Tv_b - 2Tv_w = 3S - 3Tv_w$

$2Tv_b - 2Tv_w + 3Tv_w = 3S$

$2Tv_b + Tv_w = 3S$

$T(2v_b + v_w) = 3S$

$T = \frac{3S}{2v_b + v_w}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$S = 48$ км, $v_b = 16$ км/ч, $v_w = 8$ км/ч.

$T = \frac{3 \cdot 48}{2 \cdot 16 + 8} = \frac{144}{32 + 8} = \frac{144}{40} = \frac{36}{10} = 3.6$ часа.

Чтобы перевести 0.6 часа в минуты, умножим на 60: $0.6 \cdot 60 = 36$ минут.

Таким образом, наименьшее время составляет 3 часа 36 минут.

Ответ: Наименьшее время, которое понадобится мальчикам, составляет 3.6 часа (или 3 часа 36 минут).