Номер 1, страница 145, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Параграф 10. Неравномерное движение - номер 1, страница 145.

Условие.

1. Саша поднялся по склону на плоскогорье, прошёл по нему некоторое расстояние и вернулся обратно по тому же пути. Поднимался он со скоростью 2 км/ч, по плоскогорью шёл со скоростью 4 км/ч, а спускался со скоростью 6 км/ч. Всего за 3,5 ч Саша прошёл 12 км. Какой путь Саша прошёл по склону вверх?

Решение.

Дано:

$v_{подъема} = 2$ км/ч

$v_{плоскогорья} = 4$ км/ч

$v_{спуска} = 6$ км/ч

$t_{общ} = 3,5$ ч

$S_{общ} = 12$ км

Перевод в систему СИ:

$v_{подъема} = 2 \frac{км}{ч} = 2 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{9} \text{ м/с} \approx 0,56 \text{ м/с}$

$v_{плоскогорья} = 4 \frac{км}{ч} = 4 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{10}{9} \text{ м/с} \approx 1,11 \text{ м/с}$

$v_{спуска} = 6 \frac{км}{ч} = 6 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{3} \text{ м/с} \approx 1,67 \text{ м/с}$

$t_{общ} = 3,5 \text{ ч} = 3,5 \cdot 3600 \text{ с} = 12600 \text{ с}$

$S_{общ} = 12 \text{ км} = 12 \cdot 1000 \text{ м} = 12000 \text{ м}$

Найти:

Путь, который Саша прошёл по склону вверх ($S_{склона}$).

Решение:

Для удобства будем производить вычисления в километрах и часах.

Обозначим искомый путь, который Саша прошёл по склону вверх, как $\text{x}$. Путь, который он прошёл по плоскогорью в одну сторону, обозначим как $\text{y}$.

Весь путь Саши состоит из четырёх участков: подъём по склону ($\text{x}$), путь по плоскогорью ($\text{y}$), обратный путь по плоскогорью ($\text{y}$) и спуск по склону ($\text{x}$). Таким образом, общий пройденный путь $S_{общ}$ равен:

$S_{общ} = x + y + y + x = 2x + 2y$

Подставим известное значение общего пути:

$12 = 2x + 2y$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы его упростить:

$6 = x + y$ (1)

Общее время в пути $t_{общ}$ складывается из времени, затраченного на каждый участок. Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время подъема: $t_{подъема} = \frac{x}{v_{подъема}} = \frac{x}{2}$

Время движения по плоскогорью (туда и обратно): $t_{плоскогорья} = \frac{y}{v_{плоскогорья}} + \frac{y}{v_{плоскогорья}} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}$

Время спуска: $t_{спуска} = \frac{x}{v_{спуска}} = \frac{x}{6}$

Общее время равно сумме времени на всех участках:

$t_{общ} = t_{подъема} + t_{плоскогорья} + t_{спуска}$

$3,5 = \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{x}{6}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{x}$ и $\text{y}$. Решим её.

Из уравнения (1) выразим $\text{y}$ через $\text{x}$:

$y = 6 - x$

Подставим это выражение для $\text{y}$ в уравнение (2):

$3,5 = \frac{x}{2} + \frac{6 - x}{2} + \frac{x}{6}$

Упростим правую часть уравнения:

$3,5 = \frac{x + 6 - x}{2} + \frac{x}{6}$

$3,5 = \frac{6}{2} + \frac{x}{6}$

$3,5 = 3 + \frac{x}{6}$

Теперь найдём $\text{x}$:

$\frac{x}{6} = 3,5 - 3$

$\frac{x}{6} = 0,5$

$x = 0,5 \cdot 6$

$x = 3$

Таким образом, путь, который Саша прошёл по склону вверх, равен 3 км.

Ответ: Саша прошёл по склону вверх 3 км.