Номер 1, страница 144, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Параграф 8. Прямолинейное равномерное движение - номер 1, страница 144.

Условие.

1. По прямому участку реки плывёт квадратный плот со стороной 3 м, причём две стороны плота параллельны берегу. По периметру плота бегает собака со скоростью 1 м/с относительно плота. Изобразите траекторию движения собаки относительно берега (вид сверху), если скорость течения равна 1 м/с, выбрав удобный масштаб.

Решение.

Дано:

Сторона квадратного плота: $a = 3$ м
Скорость собаки относительно плота: $v_{с/п} = 1$ м/с
Скорость течения реки: $v_{т} = 1$ м/с

Найти:

Изобразить траекторию движения собаки относительно берега.

Решение:

Движение собаки относительно берега является сложным. Её скорость относительно берега (абсолютная скорость $\vec{v}_{абс}$) складывается из её скорости относительно плота (относительная скорость $\vec{v}_{отн}$) и скорости самого плота относительно берега (переносная скорость $\vec{v}_{пер}$). Скорость плота равна скорости течения реки, так как он плывёт по течению.

Согласно закону сложения скоростей: $\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер}$.

Введём систему координат: ось $\text{Ox}$ направим вдоль берега по течению реки, а ось $\text{Oy}$ — перпендикулярно берегу. Начало отсчёта свяжем с начальным положением собаки.

Скорость течения (и плота) в этой системе координат: $\vec{v}_{пер} = \vec{v}_т = (v_т, 0) = (1, 0)$ м/с.

Скорость собаки относительно плота по модулю постоянна и равна $|\vec{v}_{отн}| = v_{с/п} = 1$ м/с. Направление этого вектора меняется, когда собака пробегает по четырём сторонам плота. Рассмотрим каждый участок отдельно. Время движения по каждой стороне длиной $a=3$ м составляет $t = \frac{a}{v_{с/п}} = \frac{3 \text{ м}}{1 \text{ м/с}} = 3$ с.

Рассмотрим 4 этапа движения собаки по периметру плота.

1. Собака бежит по направлению течения.

Вектор её относительной скорости сонаправлен с вектором скорости течения: $\vec{v}_{отн} = (1, 0)$ м/с.Абсолютная скорость собаки: $\vec{v}_{абс1} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер} = (1, 0) + (1, 0) = (2, 0)$ м/с.За 3 секунды собака сместится на вектор $\Delta\vec{r}_1 = \vec{v}_{абс1} \cdot t = (2, 0) \cdot 3 = (6, 0)$ м.Траектория на этом участке — отрезок прямой длиной 6 м, параллельный берегу.

2. Собака бежит перпендикулярно течению (например, от берега).

Вектор её относительной скорости: $\vec{v}_{отн} = (0, 1)$ м/с.Абсолютная скорость собаки: $\vec{v}_{абс2} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер} = (0, 1) + (1, 0) = (1, 1)$ м/с.Модуль скорости $|\vec{v}_{абс2}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ м/с. Направление — под углом $45^\circ$ к берегу.За 3 секунды собака сместится на вектор $\Delta\vec{r}_2 = \vec{v}_{абс2} \cdot t = (1, 1) \cdot 3 = (3, 3)$ м.

3. Собака бежит против течения.

Вектор её относительной скорости направлен против вектора скорости течения: $\vec{v}_{отн} = (-1, 0)$ м/с.Абсолютная скорость собаки: $\vec{v}_{абс3} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер} = (-1, 0) + (1, 0) = (0, 0)$ м/с.Скорость собаки относительно берега равна нулю.За 3 секунды собака не смещается: $\Delta\vec{r}_3 = (0, 0)$ м. Она остаётся в одной точке относительно берега.

4. Собака бежит перпендикулярно течению (к берегу).

Вектор её относительной скорости: $\vec{v}_{отн} = (0, -1)$ м/с.Абсолютная скорость собаки: $\vec{v}_{абс4} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер} = (0, -1) + (1, 0) = (1, -1)$ м/с.Модуль скорости $|\vec{v}_{абс4}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ м/с. Направление — под углом $-45^\circ$ к берегу.За 3 секунды собака сместится на вектор $\Delta\vec{r}_4 = \vec{v}_{абс4} \cdot t = (1, -1) \cdot 3 = (3, -3)$ м.

Теперь построим траекторию, соединяя последовательно эти участки. Пусть собака стартует из точки $(0, 0)$. Конец 1-го участка будет в точке $(0, 0) + \Delta\vec{r}_1 = (6, 0)$ в момент времени $t = 3$ с. Конец 2-го участка — в точке $(6, 0) + \Delta\vec{r}_2 = (9, 3)$ в момент $t = 6$ с. На 3-м участке собака неподвижна, поэтому в момент $t = 9$ с она всё ещё в точке $(9, 3)$. Конец 4-го участка — в точке $(9, 3) + \Delta\vec{r}_4 = (12, 0)$ в момент $t = 12$ с. После этого цикл движения повторяется со смещением на 12 м вдоль оси $\text{Ox}$. Таким образом, траектория представляет собой повторяющуюся ломаную линию. Один цикл движения изображён на рисунке.

Ответ:

Траектория движения собаки относительно берега представляет собой периодически повторяющуюся ломаную линию. Один цикл этой траектории, соответствующий одному полному кругу собаки по плоту, состоит из трёх отрезков прямых и одной точки, в которой собака неподвижна в течение 3 секунд. Если принять начальную точку за $(0,0)$, то ключевые точки траектории одного цикла будут $(0,0) \rightarrow (6,0) \rightarrow (9,3) \rightarrow (\text{остаётся в } 9,3 \text{ на 3с}) \rightarrow (12,0)$.

Вид траектории (один цикл):