Номер 1, страница 145, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Параграф 9. Графики прямолинейного равномерного движения - номер 1, страница 145.

Условие.

1. На рисунке 1 приведены графики зависимости скорости от времени для велосипедиста и автомобиля, выехавших из посёлка в одном направлении. Постройте для них графики зависимости пути от времени и найдите момент времени, в который автомобиль обгонит велосипедиста.

Рис. 1

Решение.

Дано:

Из графика зависимости скорости от времени (Рис. 1) определим параметры движения велосипедиста и автомобиля.

Для велосипедиста (красная линия):
Скорость $v_1 = 20$ км/ч (постоянна с момента времени $t=0$ ч).
Время начала движения $t_{1,старт} = 0$ ч.

Для автомобиля (зеленая линия):
Скорость $v_2 = 80$ км/ч (постоянна с момента времени $t=3$ ч).
Время начала движения $t_{2,старт} = 3$ ч.

Перевод в систему СИ не требуется, так как все величины даны в согласованных единицах (км, ч, км/ч) и ответ требуется в часах.

Найти:

1. Построить графики зависимости пути от времени $s(t)$ для велосипедиста и автомобиля.
2. Найти момент времени $t_{обгон}$, в который автомобиль обгонит велосипедиста.

Решение:

Постройте для них графики зависимости пути от времени

Движение обоих тел после начала движения является равномерным, поэтому зависимость пути от времени для них описывается линейной функцией $s = v \cdot t$.

1. Для велосипедиста:
Велосипедист движется с постоянной скоростью $v_1 = 20$ км/ч с самого начала ($t=0$). Уравнение его пути:
$s_1(t) = v_1 \cdot t = 20t$
График этой зависимости — прямая линия, выходящая из начала координат (0, 0). Для построения найдем координаты нескольких точек:
При $t=0$ ч, $s_1 = 20 \cdot 0 = 0$ км.
При $t=2$ ч, $s_1 = 20 \cdot 2 = 40$ км.
При $t=4$ ч, $s_1 = 20 \cdot 4 = 80$ км.

2. Для автомобиля:
Автомобиль начинает движение в момент времени $t = 3$ ч. До этого момента он покоился, и его путь был равен нулю.
При $0 \le t < 3$ ч, $s_2(t) = 0$.
При $t \ge 3$ ч, автомобиль движется со скоростью $v_2 = 80$ км/ч. Время его движения составляет $(t - 3)$ ч. Уравнение пути для этого интервала:
$s_2(t) = v_2 \cdot (t - 3) = 80(t - 3)$
График этой зависимости — ломаная линия. На участке от $t=0$ до $t=3$ ч график совпадает с осью времени. Начиная с точки $(3, 0)$, график представляет собой прямую линию с более крутым наклоном, чем у графика велосипедиста. Найдем координаты нескольких точек для $t \ge 3$ ч:
При $t=3$ ч, $s_2 = 80 \cdot (3 - 3) = 0$ км.
При $t=4$ ч, $s_2 = 80 \cdot (4 - 3) = 80$ км.
При $t=5$ ч, $s_2 = 80 \cdot (5 - 3) = 160$ км.

Ответ: График пути для велосипедиста — прямая, заданная уравнением $s_1(t) = 20t$, проходящая через точки $(0,0)$ и $(4,80)$. График пути для автомобиля — ломаная линия, заданная уравнениями $s_2(t) = 0$ при $0 \le t < 3$ ч и $s_2(t) = 80(t - 3)$ при $t \ge 3$ ч. Эта линия идет по оси времени от 0 до 3 ч, а затем является прямой, проходящей через точки $(3,0)$ и $(4,80)$.

найдите момент времени, в который автомобиль обгонит велосипедиста

Автомобиль обгонит велосипедиста в тот момент времени $t_{обгон}$, когда пройденные ими пути от точки старта станут равны. Так как автомобиль начинает движение в $t = 3$ ч, обгон может произойти только при $t \ge 3$ ч. Для нахождения времени обгона приравняем выражения для пути велосипедиста и автомобиля:

$s_1(t) = s_2(t)$
$20t = 80(t - 3)$

Решим это уравнение относительно $\text{t}$:

$20t = 80t - 240$
$80t - 20t = 240$
$60t = 240$
$t = \frac{240}{60}$
$t = 4$ ч

Проверим, какое расстояние они проедут к этому моменту времени:
Путь велосипедиста: $s_1(4) = 20 \cdot 4 = 80$ км.
Путь автомобиля: $s_2(4) = 80 \cdot (4 - 3) = 80 \cdot 1 = 80$ км.
Расстояния равны, следовательно, время найдено верно. Момент обгона также является точкой пересечения построенных графиков пути.

Ответ: Автомобиль обгонит велосипедиста в момент времени $t = 4$ ч.