Номер 7, страница 45, часть 2 - гдз по физике 7 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 48. Простые механизмы - номер 7, страница 45.

Условие.

7*. Никита хочет подготовить своего любимца Шарика для участия в собачьих бегах. Для тренировки Шарика он изготовил специальное устройство (рис. 32). Известно, что $r = 20 \text{ см}$, $R = 1 \text{ м}$, $l = 20 \text{ см}$, $L = 0,6 \text{ м}$.

Рис. 32

а) С какой скоростью должен выбирать верёвку Никита, чтобы «убегающая» от Шарика косточка двигалась со скоростью, модуль которой равен $15 \text{ м/с}$?

б) Чему равен выигрыш в скорости устройства, изготовленного Никитой?

в) Чему равен максимальный выигрыш в силе устройства, изготовленного Никитой?

Решение.

Дано:

$r = 20 \ см$

$R = 1 \ м$

$l = 20 \ см$

$L = 0,6 \ м$

$v_к = 15 \ м/с$ (скорость косточки)

Перевод в систему СИ:

$r = 0,2 \ м$

$l = 0,2 \ м$

Найти:

а) $v_Н$ - ? (скорость, с которой Никита выбирает верёвку)

б) $k_v$ - ? (выигрыш в скорости)

в) $k_F$ - ? (максимальный выигрыш в силе)

Решение:

Устройство представляет собой систему из двух соосных блоков-катушек. Обозначим угловую скорость первого блока (с радиусами $\text{r}$ и $\text{R}$) как $ω_1$, а второго (с радиусами $\text{l}$ и $\text{L}$) как $ω_2$. Скорость, с которой Никита тянет верёвку, обозначим $v_Н$, а скорость косточки — $v_к$.

Будем считать, что верёвки не проскальзывают. В этом случае линейная скорость движения верёвки равна линейной скорости точек на ободе катушки, с которой она сматывается или на которую наматывается.

а) С какой скоростью должен выбирать верёвку Никита, чтобы «убегающая» от Шарика косточка двигалась со скоростью, модуль которой равен 15 м/с?

1. Согласно рисунку, Никита тянет верёвку, намотанную на внутреннюю катушку первого блока радиусом $\text{r}$. Следовательно, скорость Никиты $v_Н$ связана с угловой скоростью первого блока $ω_1$ соотношением:

$v_Н = ω_1 \cdot r$

Из этого выражения найдём угловую скорость первого блока: $ω_1 = \frac{v_Н}{r}$.

2. С внешней катушки первого блока радиусом $\text{R}$ сматывается верёвка, которая передаёт движение на второй блок. Скорость этой верёвки $v_{12}$ равна:

$v_{12} = ω_1 \cdot R = \frac{v_Н}{r} \cdot R$

3. Эта верёвка наматывается на внешнюю катушку второго блока радиусом $\text{L}$, сообщая ему угловую скорость $ω_2$:

$v_{12} = ω_2 \cdot L$

Отсюда угловая скорость второго блока: $ω_2 = \frac{v_{12}}{L} = \frac{v_Н \cdot R}{r \cdot L}$.

4. Косточка привязана к верёвке, сматывающейся с внутренней катушки второго блока радиусом $\text{l}$. Её скорость $v_к$ равна:

$v_к = ω_2 \cdot l = \frac{v_Н \cdot R}{r \cdot L} \cdot l = v_Н \frac{R \cdot l}{r \cdot L}$

5. Теперь мы можем выразить искомую скорость $v_Н$ через известную скорость косточки $v_к$:

$v_Н = v_к \frac{r \cdot L}{R \cdot l}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_Н = 15 \ \frac{м}{с} \cdot \frac{0,2 \ м \cdot 0,6 \ м}{1 \ м \cdot 0,2 \ м} = 15 \cdot \frac{0,12}{0,2} = 15 \cdot 0,6 = 9 \ \frac{м}{с}$

Ответ: Никита должен выбирать верёвку со скоростью 9 м/с.

б) Чему равен выигрыш в скорости устройства, изготовленного Никитой?

Выигрыш в скорости $k_v$ определяется как отношение скорости на выходе системы (скорость косточки $v_к$) к скорости на входе (скорость, с которой тянет Никита, $v_Н$).

$k_v = \frac{v_к}{v_Н}$

Из соотношения, полученного в пункте (а), $v_к = v_Н \frac{R \cdot l}{r \cdot L}$, найдём это отношение:

$k_v = \frac{R \cdot l}{r \cdot L}$

Подставим числовые значения:

$k_v = \frac{1 \ м \cdot 0,2 \ м}{0,2 \ м \cdot 0,6 \ м} = \frac{0,2}{0,12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Ответ: выигрыш в скорости равен $\frac{5}{3}$ (приблизительно 1,67).

в) Чему равен максимальный выигрыш в силе устройства, изготовленного Никитой?

Максимальный выигрыш в силе достигается в идеальном механизме, то есть при отсутствии потерь энергии на трение. Согласно «золотому правилу» механики, работа, совершаемая приложенной силой, равна работе, совершаемой над нагрузкой, а значит мощности на входе и выходе равны.

$P_{вх} = P_{вых}$

$F_Н \cdot v_Н = F_к \cdot v_к$

Здесь $F_Н$ — сила, прилагаемая Никитой, а $F_к$ — сила, действующая на косточку.

Выигрыш в силе $k_F$ — это отношение силы на выходе ($F_к$) к силе на входе ($F_Н$):

$k_F = \frac{F_к}{F_Н}$

Из равенства мощностей следует:

$k_F = \frac{v_Н}{v_к}$

Таким образом, выигрыш в силе обратно пропорционален выигрышу в скорости:

$k_F = \frac{1}{k_v} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5} = 0,6$

Так как выигрыш в силе меньше единицы, данное устройство даёт проигрыш в силе, увеличивая при этом скорость.

Ответ: максимальный выигрыш в силе равен $\frac{3}{5}$ (или 0,6).