Номер 2, страница 41, часть 2 - гдз по физике 7 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 48. Простые механизмы - номер 2, страница 41.

Условие.

2. Определите минимальное значение модуля силы $\vec{F}$, с которой надо действовать на рукоятку колодезного ворота (рис. 28), чтобы равномерно поднимать ведро с водой. Известно, что радиус цилиндра ворота $R = 10 \text{ см}$, а длина рукоятки $L = 30 \text{ см}$. Масса ведра с водой $m = 12 \text{ кг}$. Указание. Запишите условие равновесия для ворота и ведра с водой относительно оси вращения ворота.

Рис. 28

Ответ: _______

Для изображённого устройства ответьте на вопросы:

a) Чему равен выигрыш в силе?

б) С какой по модулю скоростью $\vec{v}_\text{p}$ должна двигаться рука, вращающая ворот, чтобы ведро поднималось со скоростью $v_\text{B} = 6 \text{ см/с}$?

в) На какую высоту $\text{h}$ поднимется ведро массой 12 кг в идеальном случае, если вращающая ворот рука совершит работу $A = 1,2 \text{ кДж}$?

г) Как изменится ответ на последний вопрос в случае, если коэффициент полезного действия ворота $\eta = 70 \, \%$?

Решение.

Дано:

Радиус цилиндра ворота, $R = 10$ см

Длина рукоятки, $L = 30$ см

Масса ведра с водой, $m = 12$ кг

Скорость подъема ведра, $v_в = 6$ см/с (для пункта б)

Работа руки, $A = 1,2$ кДж (для пункта в)

КПД ворота, $\eta = 70$ % (для пункта г)

Перевод в систему СИ:

$R = 0.1$ м

$L = 0.3$ м

$m = 12$ кг

$v_в = 0.06$ м/с

$A = 1200$ Дж

$\eta = 0.7$

Найти:

а) Выигрыш в силе

б) Скорость руки $v_p$

в) Высоту подъема $\text{h}$ в идеальном случае

г) Высоту подъема $h'$ при КПД 70%

Решение:

а) Чему равен выигрыш в силе?

Ворот является простым механизмом типа рычага. Условие равновесия для него (правило моментов) гласит, что момент силы, приложенной к рукоятке, равен моменту силы тяжести ведра: $F \cdot L = P \cdot R$, где $\text{F}$ — прикладываемая сила, $\text{L}$ — длина рукоятки (длинное плечо рычага), $P = mg$ — вес ведра, $\text{R}$ — радиус цилиндра (короткое плечо рычага). Выигрыш в силе по определению — это отношение нагрузки к приложенной силе, то есть $\frac{P}{F}$.

Из правила моментов: $\frac{P}{F} = \frac{L}{R}$.

Подставим числовые значения:

Выигрыш в силе $= \frac{0.3 \text{ м}}{0.1 \text{ м}} = 3$.

Ответ: Выигрыш в силе равен 3.

б) С какой по модулю скоростью $\vec{v_p}$ должна двигаться рука, вращающая ворот, чтобы ведро поднималось со скоростью $v_в = 6$ см/с?

При вращении ворота его цилиндр и рукоятка вращаются с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Линейная скорость связана с угловой через радиус вращения: $v = \omega r$.

Скорость подъема ведра $v_в$ равна линейной скорости точек на поверхности цилиндра: $v_в = \omega R$.

Скорость движения руки $v_p$ равна линейной скорости конца рукоятки: $v_p = \omega L$.

Из этих двух соотношений можно найти отношение скоростей: $\frac{v_p}{v_в} = \frac{\omega L}{\omega R} = \frac{L}{R}$.

Отсюда $v_p = v_в \cdot \frac{L}{R}$.

Подставим значения:

$v_p = 6 \text{ см/с} \cdot \frac{30 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 6 \text{ см/с} \cdot 3 = 18$ см/с.

Ответ: $v_p = 18$ см/с.

в) На какую высоту $\text{h}$ поднимется ведро массой 12 кг в идеальном случае, если вращающая ворот рука совершит работу $A = 1,2$ кДж?

В идеальном случае, когда потерь энергии нет (КПД = 100%), вся совершенная работа $\text{A}$ переходит в полезную работу $A_{полезная}$ по подъему ведра. Полезная работа равна изменению потенциальной энергии ведра: $A_{полезная} = mgh$.

Таким образом, $A = mgh$.

Выразим высоту $\text{h}$:

$h = \frac{A}{mg}$.

Подставим значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²:

$h = \frac{1200 \text{ Дж}}{12 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}} = \frac{1200}{120} = 10$ м.

Ответ: $h = 10$ м.

г) Как изменится ответ на последний вопрос в случае, если коэффициент полезного действия ворота $\eta = 70\%$?

Коэффициент полезного действия (КПД) — это отношение полезной работы к затраченной:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}}$.

В данном случае $A_{затраченная} = A = 1200$ Дж, а полезная работа $A_{полезная} = mgh'$, где $h'$ — искомая высота подъема.

$\eta = \frac{mgh'}{A}$.

Выразим отсюда $h'$:

$h' = \frac{\eta \cdot A}{mg}$.

Подставим числовые значения:

$h' = \frac{0.7 \cdot 1200 \text{ Дж}}{12 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}} = \frac{840}{120} = 7$ м.

Ответ: Высота подъема ведра составит 7 м.