Номер 8, страница 40, часть 2 - гдз по физике 7 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 47. Применение условий равновесия твёрдого тела. Решение задач - номер 8, страница 40.

Условие.

8*. Тело взвешивают на неравноплечих весах (рис. 27). Когда тело находится на левой чаше, его уравновешивают грузом массой 15 кг, когда тело находится на правой чаше, его уравновешивают грузом массой 60 кг. Определите массу тела.

Рис. 27

Ответ: _______

Решение.

Дано:

$m_1 = 15$ кг (масса груза, когда тело на левой чаше)

$m_2 = 60$ кг (масса груза, когда тело на правой чаше)

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\text{M}$ - масса тела.

Решение:

Для решения задачи используем правило моментов для рычага в состоянии равновесия. Момент силы равен произведению модуля силы на её плечо. Условие равновесия рычага заключается в том, что сумма моментов сил, вращающих рычаг по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки.

Пусть $L_1$ и $L_2$ — длины левого и правого плеч весов соответственно. Пусть $\text{M}$ — искомая масса тела. Силы, действующие на чаши весов, — это силы тяжести $F=mg$.

Рассмотрим два случая взвешивания:

1. Тело массой $\text{M}$ находится на левой чаше, а уравновешивающий его груз массой $m_1$ — на правой. Условие равновесия моментов сил:

$M \cdot g \cdot L_1 = m_1 \cdot g \cdot L_2$

Сократив на ускорение свободного падения $\text{g}$, получим первое уравнение:

$M \cdot L_1 = m_1 \cdot L_2$ (1)

2. Тело массой $\text{M}$ находится на правой чаше, а уравновешивающий его груз массой $m_2$ — на левой. Условие равновесия моментов сил:

$m_2 \cdot g \cdot L_1 = M \cdot g \cdot L_2$

Сократив на $\text{g}$, получим второе уравнение:

$m_2 \cdot L_1 = M \cdot L_2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Выразим отношение плеч $\frac{L_1}{L_2}$ из каждого уравнения:

Из (1): $\frac{L_1}{L_2} = \frac{m_1}{M}$

Из (2): $\frac{L_1}{L_2} = \frac{M}{m_2}$

Так как левые части этих выражений равны, можем приравнять и правые:

$\frac{m_1}{M} = \frac{M}{m_2}$

Отсюда находим $M^2$:

$M^2 = m_1 \cdot m_2$

Тогда истинная масса тела $\text{M}$ является средним геометрическим двух измеренных масс:

$M = \sqrt{m_1 \cdot m_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$M = \sqrt{15 \text{ кг} \cdot 60 \text{ кг}} = \sqrt{900 \text{ кг}^2} = 30 \text{ кг}$

Ответ: масса тела равна 30 кг.