Номер 298, страница 37 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Гидравлический пресс - номер 298, страница 37.

Условие.

298. Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет цилиндры с поршнями, площади поперечного сечения которых равны $1000 \text{ см}^2$ и $500 \text{ см}^2$. В начальный момент поршни находятся на одном горизонтальном уровне. На поршень большей площади встает человек. При этом поршень опускается на $0,3 \text{ м}$. Какова масса человека? Массой поршней пренебречь.

Решение.

Дано:

$S_1 = 1000 \text{ см}^2 = 0.1 \text{ м}^2$

$S_2 = 500 \text{ см}^2 = 0.05 \text{ м}^2$

$h_1 = 0.3 \text{ м}$

$\\rho= 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

Найти:

$\text{m}$

Решение:

Когда человек встает на больший поршень (площадью $S_1$), он опускается на высоту $h_1$. При этом он вытесняет объем воды $V_1 = S_1 h_1$. Этот же объем воды поднимает меньший поршень (площадью $S_2$) на высоту $h_2$. Поскольку вода практически несжимаема, объемы вытесненной и поднятой воды равны:

$V_1 = V_2$

$S_1 h_1 = S_2 h_2$

Из этого соотношения мы можем найти высоту подъема малого поршня:

$h_2 = \frac{S_1}{S_2} h_1$

После того как система придет в равновесие, поршни будут находиться на разной высоте. Разность уровней составит $\Delta h = h_1 + h_2$. Дополнительное давление, создаваемое весом человека на большой поршень, уравновешивается гидростатическим давлением столба воды высотой $\Delta h$.

Давление, создаваемое весом человека ($F_1 = mg$), равно:

$P_1 = \frac{mg}{S_1}$

Гидростатическое давление столба воды высотой $\Delta h$ равно:

$P_{гидр} = \\rhog \Delta h = \\rhog (h_1 + h_2)$

Приравниваем эти давления:

$\frac{mg}{S_1} = \\rhog (h_1 + h_2)$

Сократив ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения, получим выражение для массы человека:

$m = \\rhoS_1 (h_1 + h_2)$

Подставим ранее найденное выражение для $h_2$:

$m = \\rhoS_1 \left(h_1 + \frac{S_1}{S_2} h_1\right) = \\rhoS_1 h_1 \left(1 + \frac{S_1}{S_2}\right)$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения:

$h_2 = \frac{1000 \text{ см}^2}{500 \text{ см}^2} \cdot 0.3 \text{ м} = 2 \cdot 0.3 \text{ м} = 0.6 \text{ м}$

$\Delta h = h_1 + h_2 = 0.3 \text{ м} + 0.6 \text{ м} = 0.9 \text{ м}$

$m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.1 \text{ м}^2 \cdot 0.9 \text{ м} = 90 \text{ кг}$

Или, используя общую формулу:

$m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.1 \text{ м}^2 \cdot 0.3 \text{ м} \left(1 + \frac{0.1 \text{ м}^2}{0.05 \text{ м}^2}\right) = 30 \cdot (1 + 2) \text{ кг} = 30 \cdot 3 \text{ кг} = 90 \text{ кг}$

Ответ: масса человека равна 90 кг.