Номер 299, страница 37 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Гидравлический пресс - номер 299, страница 37.

Условие.

299. Два вертикальных сообщающихся цилиндра заполнены водой и закрыты поршнями, имеющими массы $M_1 = 1$ кг и $M_2 = 2$ кг. В положении равновесия первый поршень расположен выше второго на величину $h = 10$ см. Когда на первый поршень положили гирю массой $m = 2$ кг, поршни в положении равновесия оказались на одной высоте. Как расположатся поршни, если гирю перенести на второй поршень?

Решение.

Дано:

$M_1 = 1 \text{ кг}$

$M_2 = 2 \text{ кг}$

$h = 10 \text{ см}$

$m = 2 \text{ кг}$

$\\rho= 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:

$h = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Новое положение поршней (разность высот $\Delta h'$ и какой поршень выше).

Решение:

Обозначим площади первого и второго поршней как $S_1$ и $S_2$ соответственно. Рассмотрим три состояния системы в равновесии. Условие равновесия для сообщающихся сосудов заключается в том, что давления на любом горизонтальном уровне внутри жидкости должны быть одинаковы.

1. Начальное состояние. Первый поршень расположен выше второго на величину $\text{h}$. Выберем уровень второго (нижнего) поршня в качестве базового. Давление, создаваемое первым поршнем и столбом воды высотой $\text{h}$, должно уравновешивать давление, создаваемое вторым поршнем.

$p_1 + \\rhog h = p_2$

где $p_1 = \frac{M_1 g}{S_1}$ и $p_2 = \frac{M_2 g}{S_2}$.

$\frac{M_1 g}{S_1} + \\rhog h = \frac{M_2 g}{S_2}$

Сократив на $\text{g}$, получим первое уравнение:

$\frac{M_1}{S_1} + \\rhoh = \frac{M_2}{S_2}$ (1)

2. Состояние с гирей на первом поршне. На первый поршень положили гирю массой $\text{m}$, и поршни оказались на одной высоте. Это означает, что давления непосредственно под поршнями равны.

$p'_1 = p'_2$

$\frac{(M_1 + m)g}{S_1} = \frac{M_2 g}{S_2}$

Сократив на $\text{g}$, получим второе уравнение:

$\frac{M_1 + m}{S_1} = \frac{M_2}{S_2}$ (2)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Подставим выражение для $\frac{M_2}{S_2}$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$\frac{M_1}{S_1} + \\rhoh = \frac{M_1 + m}{S_1}$

$\\rhoh = \frac{M_1 + m}{S_1} - \frac{M_1}{S_1} = \frac{m}{S_1}$

Отсюда можно выразить площадь первого поршня: $S_1 = \frac{m}{\\rhoh}$.

3. Состояние с гирей на втором поршне. Гирю перенесли на второй поршень. Давление под вторым поршнем станет больше, чем под первым, поэтому второй поршень опустится, а первый поднимется. Пусть новая разность высот будет $\Delta h'$, и первый поршень будет выше второго. Условие равновесия будет аналогично первому случаю:

$\frac{M_1 g}{S_1} + \\rhog \Delta h' = \frac{(M_2 + m)g}{S_2}$

$\frac{M_1}{S_1} + \\rho\Delta h' = \frac{M_2 + m}{S_2}$ (3)

Наша цель - найти $\Delta h'$. Для этого выразим $S_1$ и $S_2$ через известные величины. Мы уже нашли, что $\\rhoh = \frac{m}{S_1}$. Из уравнения (2) найдем отношение площадей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{M_2}{M_1 + m}$.

Преобразуем уравнение (3), чтобы выразить $\Delta h'$:

$\\rho\Delta h' = \frac{M_2 + m}{S_2} - \frac{M_1}{S_1}$

Подставим $S_2 = S_1 \frac{M_2}{M_1 + m}$:

$\\rho\Delta h' = \frac{M_2 + m}{S_1 \frac{M_2}{M_1 + m}} - \frac{M_1}{S_1} = \frac{1}{S_1} \left( \frac{(M_2 + m)(M_1 + m)}{M_2} - M_1 \right)$

Так как $\frac{1}{S_1} = \frac{\\rhoh}{m}$, подставим это в выражение:

$\\rho\Delta h' = \frac{\\rhoh}{m} \left( \frac{M_1 M_2 + M_2 m + M_1 m + m^2}{M_2} - M_1 \right)$

$\Delta h' = \frac{h}{m} \left( M_1 + m + \frac{M_1 m}{M_2} + \frac{m^2}{M_2} - M_1 \right)$

$\Delta h' = \frac{h}{m} \left( m + \frac{m(M_1 + m)}{M_2} \right) = h \left( 1 + \frac{M_1 + m}{M_2} \right)$

$\Delta h' = h \frac{M_2 + M_1 + m}{M_2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta h' = 0.1 \text{ м} \cdot \frac{2 \text{ кг} + 1 \text{ кг} + 2 \text{ кг}}{2 \text{ кг}} = 0.1 \text{ м} \cdot \frac{5}{2} = 0.1 \text{ м} \cdot 2.5 = 0.25 \text{ м}$

$0.25 \text{ м} = 25 \text{ см}$.

Так как $\Delta h'$ получилось положительным, наше предположение о том, что первый поршень будет выше второго, верно.

Ответ: Первый поршень будет расположен выше второго на 25 см.