Номер 296, страница 37 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Гидравлический пресс - номер 296, страница 37.

Условие.

296. Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет поршни сечениями $100 \text{ см}^2$ и $10 \text{ см}^2$. На большой поршень помещают груз массой $8 \text{ кг}$. На какую высоту после этого поднимется малый поршень?

Решение.

Дано:

$S_1 = 100 \text{ см}^2$ (площадь большего поршня)

$S_2 = 10 \text{ см}^2$ (площадь малого поршня)

$m = 8 \text{ кг}$ (масса груза)

$\\rho= 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$

$S_2 = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.001 \text{ м}^2$

Найти:

$h_2$ — высота подъема малого поршня.

Решение:

Когда на больший поршень помещают груз, он под действием силы тяжести $F_1 = mg$ опускается на некоторую высоту $h_1$. Это приводит к тому, что малый поршень поднимается на высоту $h_2$. Система приходит в равновесие, когда дополнительное давление, создаваемое грузом, уравновешивается гидростатическим давлением столба воды, образовавшегося из-за разности уровней поршней.

Дополнительное давление, которое груз оказывает на жидкость через больший поршень, равно:

$\Delta p = \frac{F_1}{S_1} = \frac{mg}{S_1}$

В состоянии равновесия это давление компенсируется гидростатическим давлением столба воды высотой $\text{H}$, равной итоговой разности уровней между поршнями:

$\Delta p = \\rhog H$

где $\rho$ — плотность воды, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Приравняем выражения для давления:

$\frac{mg}{S_1} = \\rhog H$

Сократив $\text{g}$, найдем разность уровней $\text{H}$:

$H = \frac{m}{\\rhoS_1}$

Эта разность уровней $\text{H}$ складывается из высоты, на которую опустился большой поршень ($h_1$), и высоты, на которую поднялся малый ($h_2$):

$H = h_1 + h_2$

Так как вода является практически несжимаемой жидкостью, объем воды, вытесненный большим поршнем при его опускании, равен объему, который заполнился под малым поршнем при его подъеме:

$V_1 = V_2$

$S_1 h_1 = S_2 h_2$

Из этого соотношения выразим $h_1$ через $h_2$:

$h_1 = h_2 \frac{S_2}{S_1}$

Теперь подставим это выражение для $h_1$ в формулу для $\text{H}$:

$H = h_2 \frac{S_2}{S_1} + h_2 = h_2 \left(\frac{S_2}{S_1} + 1\right) = h_2 \frac{S_1 + S_2}{S_1}$

Мы получили два выражения для $\text{H}$. Приравняем их:

$\frac{m}{\\rhoS_1} = h_2 \frac{S_1 + S_2}{S_1}$

Умножим обе части уравнения на $S_1$, чтобы упростить его:

$\frac{m}{\rho} = h_2 (S_1 + S_2)$

Отсюда выразим искомую высоту подъема малого поршня $h_2$:

$h_2 = \frac{m}{\\rho(S_1 + S_2)}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$h_2 = \frac{8 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot (0.01 \text{ м}^2 + 0.001 \text{ м}^2)} = \frac{8}{1000 \cdot 0.011} = \frac{8}{11} \text{ м}$

Вычислим окончательное значение:

$h_2 \approx 0.727 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для наглядности:

$h_2 \approx 72.7 \text{ см}$

Ответ: малый поршень поднимется на высоту примерно 72.7 см.