Номер 300, страница 38 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Гидравлический пресс - номер 300, страница 38.

Условие.

300. Два вертикальных сообщающихся цилиндра заполнены водой и закрыты поршнями с массами $M_1 = 2$ кг и $M_2 = 3$ кг. Когда на первый поршень положили гирю массой $m = 1$ кг, то в положении равновесия первый поршень оказался ниже второго на $h = 10$ см. Когда гирю перенесли на второй поршень, то второй оказался ниже первого на величину $h = 10$ см. Как поршни расположатся в отсутствие гири?

Решение.

Дано:

$M_1 = 2$ кг

$M_2 = 3$ кг

$m = 1$ кг

$h = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$h = 0.1$ м

Найти:

$h_0$ — разность уровней поршней в отсутствие гири.

Решение:

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади сечения первого и второго цилиндров соответственно, а $\rho$ — плотность воды. Условие равновесия для сообщающихся сосудов заключается в равенстве давлений на любом горизонтальном уровне.

Рассмотрим первый случай, когда гиря массой $\text{m}$ находится на первом поршне. Первый поршень оказывается ниже второго на величину $\text{h}$. Запишем условие равенства давлений на уровне нижнего (первого) поршня:

$\frac{(M_1+m)g}{S_1} = \frac{M_2 g}{S_2} + \\rhog h$

Разделив обе части на $\text{g}$, получим:

$\frac{M_1+m}{S_1} - \frac{M_2}{S_2} = \\rhoh$ (1)

Рассмотрим второй случай, когда гирю перенесли на второй поршень. Теперь второй поршень ниже первого на $\text{h}$. Запишем условие равенства давлений на уровне нижнего (второго) поршня:

$\frac{M_1 g}{S_1} + \\rhog h = \frac{(M_2+m)g}{S_2}$

Разделив обе части на $\text{g}$, получим:

$\frac{M_1}{S_1} - \frac{M_2+m}{S_2} = -\\rhoh$ (2)

Нам нужно найти разность уровней $h_0$ в отсутствие гири. Запишем уравнение равновесия для этого случая, предположив, что первый поршень ниже второго (если $h_0$ окажется отрицательным, то ниже будет второй поршень):

$\frac{M_1 g}{S_1} = \frac{M_2 g}{S_2} + \\rhog h_0$

Отсюда:

$\\rhoh_0 = \frac{M_1}{S_1} - \frac{M_2}{S_2}$ (3)

Для нахождения $\\rhoh_0$ решим систему уравнений (1) и (2) относительно неизвестных $S_1$ и $S_2$. Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(\frac{M_1+m}{S_1} - \frac{M_2}{S_2}) - (\frac{M_1}{S_1} - \frac{M_2+m}{S_2}) = \\rhoh - (-\\rhoh)$

$\frac{m}{S_1} + \frac{m}{S_2} = 2\\rhoh$

Теперь сложим уравнения (1) и (2):

$(\frac{M_1+m}{S_1} - \frac{M_2}{S_2}) + (\frac{M_1}{S_1} - \frac{M_2+m}{S_2}) = \\rhoh - \\rhoh$

$\frac{2M_1+m}{S_1} - \frac{2M_2+m}{S_2} = 0 \implies \frac{2M_1+m}{S_1} = \frac{2M_2+m}{S_2}$

Выразим из последнего соотношения $\frac{1}{S_2}$ через $\frac{1}{S_1}$:

$\frac{1}{S_2} = \frac{1}{S_1} \frac{2M_1+m}{2M_2+m}$

Подставим это выражение в уравнение (3) для $\\rhoh_0$:

$\\rhoh_0 = \frac{M_1}{S_1} - \frac{M_2}{S_2} = \frac{M_1}{S_1} - M_2 \frac{1}{S_1} \frac{2M_1+m}{2M_2+m} = \frac{1}{S_1} (M_1 - M_2 \frac{2M_1+m}{2M_2+m})$

$\\rhoh_0 = \frac{1}{S_1} \frac{M_1(2M_2+m) - M_2(2M_1+m)}{2M_2+m} = \frac{1}{S_1} \frac{2M_1M_2+M_1m - 2M_1M_2-M_2m}{2M_2+m} = \frac{1}{S_1} \frac{m(M_1-M_2)}{2M_2+m}$

Теперь найдем $\frac{1}{S_1}$ из суммы уравнений (1) и (2). Мы получили $m(\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2}) = 2\\rhoh$. Подставим сюда выражение для $\frac{1}{S_2}$:

$m(\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_1} \frac{2M_1+m}{2M_2+m}) = 2\\rhoh$

$\frac{m}{S_1} (\frac{2M_2+m+2M_1+m}{2M_2+m}) = 2\\rhoh \implies \frac{m}{S_1} \frac{2(M_1+M_2+m)}{2M_2+m} = 2\\rhoh$

$\frac{1}{S_1} = \frac{\\rhoh}{m} \frac{2M_2+m}{M_1+M_2+m}$

Подставим найденное $\frac{1}{S_1}$ в выражение для $\\rhoh_0$:

$\\rhoh_0 = (\frac{\\rhoh}{m} \frac{2M_2+m}{M_1+M_2+m}) \frac{m(M_1-M_2)}{2M_2+m}$

Сокращая одинаковые множители, получаем окончательную формулу для $h_0$:

$h_0 = h \frac{M_1-M_2}{M_1+M_2+m}$

Подставим числовые значения:

$h_0 = 10 \text{ см} \cdot \frac{2 - 3}{2 + 3 + 1} = 10 \cdot \frac{-1}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$ см.

Знак "минус" означает, что наше первоначальное предположение о положении поршней было неверным. На самом деле, второй поршень будет расположен ниже первого. Разность уровней составит $\frac{5}{3}$ см.

$h_0 \approx 1.67$ см.

Ответ: в отсутствие гири второй поршень будет ниже первого на $\frac{5}{3}$ см (приблизительно 1.67 см).