Номер 375, страница 45 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Механическая работа - номер 375, страница 45.

Условие.

375. Льдина площадью $1 \text{ м}^2$ и толщиной $0,4 \text{ м}$ плавает в воде. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

Решение.

Дано

$S = 1 \, м^2$

$H = 0,4 \, м$

Плотность воды $\rho_{в} = 1000 \, кг/м^3$

Плотность льда $\rho_{л} = 900 \, кг/м^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, м/с^2$

Найти:

$\text{A}$ - минимальную работу.

Решение

1. Когда льдина плавает, действующая на нее сила тяжести уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда). Найдем глубину погружения льдины $h_{погр}$ в этом состоянии равновесия.

$F_{тяж} = F_{А}$

$m_{л}g = \rho_{в}gV_{погр}$

где $m_{л}$ - масса льдины, а $V_{погр}$ - объем ее погруженной части.

Массу льдины можно выразить через ее плотность $\rho_{л}$ и полный объем $V_{л} = S \cdot H$:

$m_{л} = \rho_{л}V_{л} = \rho_{л}SH$

Объем погруженной части равен $V_{погр} = S \cdot h_{погр}$.

Подставим эти выражения в условие плавания:

$\rho_{л}SHg = \rho_{в}S h_{погр}g$

Отсюда находим начальную глубину погружения:

$h_{погр} = H \frac{\rho_{л}}{\rho_{в}} = 0,4 \, м \cdot \frac{900 \, кг/м^3}{1000 \, кг/м^3} = 0,4 \cdot 0,9 = 0,36 \, м$.

2. Чтобы полностью погрузить льдину, необходимо приложить к ней внешнюю силу, направленную вертикально вниз. Эта сила должна компенсировать избыток выталкивающей силы над силой тяжести по мере дополнительного погружения льдины. Минимальная работа совершается при медленном (квазистатическом) погружении.

Высота надводной части льдины, на которую ее нужно дополнительно погрузить, равна:

$\Delta h = H - h_{погр} = 0,4 \, м - 0,36 \, м = 0,04 \, м$.

3. При дополнительном погружении льдины на глубину $\text{x}$ (где $0 \le x \le \Delta h$), выталкивающая сила увеличивается. Внешняя сила $F(x)$, необходимая для удержания льдины в равновесии на этой глубине, равна разности между новой силой Архимеда и постоянной силой тяжести:

$F(x) = F_{А_{нов}} - F_{тяж}$

$F(x) = \rho_{в}gS(h_{погр} + x) - \rho_{л}gSH$

Поскольку из условия плавания $\rho_{в}gSh_{погр} = \rho_{л}gSH$, то формула упрощается:

$F(x) = \rho_{в}gSx$

Эта формула показывает, что прикладываемая сила линейно возрастает от 0 (в начале) до максимального значения $F_{max}$ (в конце).

В начале процесса ($x=0$) сила равна нулю. В конце, когда льдина полностью погружена ($x = \Delta h$), сила достигает максимального значения:

$F_{max} = \rho_{в}gS\Delta h = 1000 \, кг/м^3 \cdot 9,8 \, м/с^2 \cdot 1 \, м^2 \cdot 0,04 \, м = 392 \, Н$.

4. Работа переменной силы вычисляется как площадь под графиком зависимости силы от перемещения. Для линейно возрастающей силы работа равна средней силе, умноженной на перемещение:

$A = F_{ср} \cdot \Delta h = \frac{F_{min} + F_{max}}{2} \cdot \Delta h = \frac{0 + 392 \, Н}{2} \cdot 0,04 \, м$

$A = 196 \, Н \cdot 0,04 \, м = 7,84 \, Дж$.

Ответ: $A = 7,84 \, Дж$.