Номер 153, страница 75 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Парообразование, конденсация - номер 153, страница 75.

Условие.

153. На нагреватель поставили открытый сосуд с водой. Через 40 мин после начала кипения в сосуд добавили воду, масса которой равна массе выкипевшей за это время воды. При неизменных условиях нагрева вода в сосуде снова закипела спустя 3 мин. Какова была первоначальная температура добавленной воды?

Решение.

Дано:

Время кипения воды, $t_1 = 40 \text{ мин}$

Время нагрева добавленной воды до кипения, $t_2 = 3 \text{ мин}$

Масса добавленной воды $m_2$ равна массе выкипевшей воды $m_1$, $m_1 = m_2 = m$

Температура кипения воды, $t_{кип} = 100 \text{ °C}$

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота парообразования воды, $L = 2.26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

$t_1 = 40 \text{ мин} = 40 \cdot 60 \text{ с} = 2400 \text{ с}$
$t_2 = 3 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ с} = 180 \text{ с}$

Найти:

Начальную температуру добавленной воды, $t_x$.

Решение:

Пусть $\text{P}$ — постоянная мощность нагревателя. За время $t_1$ нагреватель передает воде количество теплоты $Q_1$, которое полностью идет на парообразование массы воды $\text{m}$.

$Q_1 = P \cdot t_1$

Также, количество теплоты, необходимое для испарения массы воды $\text{m}$, равно:

$Q_1 = L \cdot m$

Приравняв два выражения для $Q_1$, получим:

$P \cdot t_1 = L \cdot m \quad (1)$

После добавления холодной воды массой $\text{m}$ и начальной температурой $t_x$, нагреватель за время $t_2$ передает воде количество теплоты $Q_2$. Эта теплота идет на нагрев добавленной воды от температуры $t_x$ до температуры кипения $t_{кип}$.

$Q_2 = P \cdot t_2$

Количество теплоты, необходимое для нагрева воды:

$Q_2 = c \cdot m \cdot (t_{кип} - t_x)$

Приравняв два выражения для $Q_2$, получим:

$P \cdot t_2 = c \cdot m \cdot (t_{кип} - t_x) \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений с неизвестными $\text{P}$, $\text{m}$ и $t_x$. Чтобы найти $t_x$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{P \cdot t_2}{P \cdot t_1} = \frac{c \cdot m \cdot (t_{кип} - t_x)}{L \cdot m}$

Неизвестные мощность $\text{P}$ и масса $\text{m}$ сокращаются:

$\frac{t_2}{t_1} = \frac{c \cdot (t_{кип} - t_x)}{L}$

Выразим из этого уравнения искомую температуру $t_x$:

$t_{кип} - t_x = \frac{L \cdot t_2}{c \cdot t_1}$

$t_x = t_{кип} - \frac{L \cdot t_2}{c \cdot t_1}$

Подставим числовые значения. Обратите внимание, что для отношения $t_2/t_1$ можно использовать значения в минутах, так как единицы измерения сократятся.

$t_x = 100 \text{ °C} - \frac{2.26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 3 \text{ мин}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 40 \text{ мин}}$

$t_x = 100 \text{ °C} - \frac{6.78 \cdot 10^6}{168000} \text{ °C}$

$t_x = 100 \text{ °C} - 40.357... \text{ °C} \approx 59.6 \text{ °C}$

Ответ: первоначальная температура добавленной воды была приблизительно $59.6 \text{ °C}$.