Номер 371, страница 107 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Преломление света - номер 371, страница 107.

Условие.

371. На столе лежит лист бумаги. Луч света, падающий на бумагу под углом $45^\circ$, образует на нем светлое пятно. На сколько сместится это пятно, если на бумагу положить стеклянную пластину толщиной 2 см?

Решение.

Дано:

Угол падения луча света, $\alpha = 45^\circ$
Толщина стеклянной пластины, $d = 2 \text{ см}$
Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$
Показатель преломления стекла, $n_2 = n \approx 1.5$ (стандартное значение для обычного стекла)

$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Смещение светового пятна $\text{x}$.

Решение:

Когда луч света проходит через плоскопараллельную стеклянную пластину, он преломляется на границе воздух-стекло, а затем на границе стекло-воздух. В результате луч, вышедший из пластины, оказывается параллельным первоначальному лучу, но смещенным в сторону на некоторое расстояние $\text{x}$. Это смещение и есть искомая величина.

Величина бокового смещения луча ($\text{x}$) может быть найдена по формуле:
$x = d \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$
где $\text{d}$ — толщина пластины, $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления.

Для решения задачи сначала найдем угол преломления $\beta$, используя закон преломления света (закон Снеллиуса):
$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

Подставим известные значения:
$1 \cdot \sin(45^\circ) = 1.5 \cdot \sin(\beta)$

Отсюда выразим синус угла преломления:
$\sin(\beta) = \frac{\sin(45^\circ)}{1.5} = \frac{\sqrt{2}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Для вычисления смещения $\text{x}$ можно использовать формулу, которая выражает смещение через угол падения и показатель преломления, что позволяет избежать явного вычисления значения угла $\beta$:
$x = d \sin(\alpha) \left( 1 - \frac{\cos(\alpha)}{\sqrt{n^2 - \sin^2(\alpha)}} \right)$

Подставим в эту формулу числовые значения. Для удобства будем использовать толщину $\text{d}$ в сантиметрах, чтобы получить ответ в тех же единицах.
$d = 2 \text{ см}$, $\alpha = 45^\circ$, $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $n = 1.5 = \frac{3}{2}$.
$x = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{(3/2)^2 - (\sqrt{2}/2)^2}} \right)$
$x = \sqrt{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{9/4 - 2/4}} \right) = \sqrt{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{7/4}} \right)$
$x = \sqrt{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{7}/2} \right) = \sqrt{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \right)$
$x = \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{7}}$

Вычислим приближенное значение смещения:
$x \approx 1.414 - \frac{2}{2.646} \approx 1.414 - 0.756 = 0.658 \text{ см}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: смещение светового пятна составит примерно $0.66$ см.