Номер 368, страница 106 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Преломление света - номер 368, страница 106.

Условие.

368. На дне водоема глубиной 50 см лежит небольшой камень. Мальчик хочет попасть в него концом палки. Прицелившись, мальчик держит палку в воздухе под углом 45° к поверхности воды. На каком расстоянии от камня воткнется палка в дно водоема?

Решение.

Дано:

Глубина водоема, $h = 50$ см
Угол, под которым мальчик держит палку к поверхности воды, $\gamma = 45^\circ$
Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$
Показатель преломления воды, $n_2 \approx 1.33$

Перевод в систему СИ:
$h = 0.5$ м

Найти:

$\Delta x$ — расстояние от камня до места, куда воткнется палка.

Решение:

Мальчик целится в видимое (кажущееся) положение камня. Из-за явления преломления света на границе раздела двух сред (воздух-вода) видимое положение предмета под водой отличается от его реального положения. Палка же, которую опускает мальчик, движется по прямой линии, не преломляясь.

Мальчик держит палку под углом $\gamma = 45^\circ$ к поверхности воды. В оптике углы падения и преломления отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к поверхности. Угол падения луча зрения (и направления палки) относительно нормали будет:

$\alpha = 90^\circ - \gamma = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Пусть палка входит в воду в некоторой точке O. Тогда она достигнет дна на горизонтальном расстоянии $x_{палки}$ от точки O. Из геометрии (прямоугольного треугольника с катетами $\text{h}$ и $x_{палки}$):

$x_{палки} = h \cdot \tan \alpha$

Теперь рассмотрим луч света, идущий от камня. Пусть он выходит из воды в той же точке °и попадает в глаз наблюдателю. Угол преломления этого луча в воздухе равен $\alpha$. Найдем угол падения $\beta$ (угол в воде относительно нормали) используя закон преломления Снеллиуса:

$n_2 \sin \beta = n_1 \sin \alpha$

Отсюда можем выразить $\sin \beta$:

$\sin \beta = \frac{n_1}{n_2} \sin \alpha = \frac{1}{1.33} \sin 45^\circ \approx \frac{0.7071}{1.33} \approx 0.5317$

Реальное горизонтальное положение камня $x_{камня}$ относительно точки °определяется углом $\beta$:

$x_{камня} = h \cdot \tan \beta$

Чтобы найти $\tan \beta$, воспользуемся тригонометрическим тождеством $\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta}$:

$\cos \beta = \sqrt{1 - (0.5317)^2} = \sqrt{1 - 0.2827} = \sqrt{0.7173} \approx 0.8469$

$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \approx \frac{0.5317}{0.8469} \approx 0.6278$

Расстояние, на которое промахнется мальчик, — это разница между горизонтальным положением точки, куда попадет палка, и реальным горизонтальным положением камня:

$\Delta x = x_{палки} - x_{камня} = h \cdot \tan \alpha - h \cdot \tan \beta = h (\tan \alpha - \tan \beta)$

Подставим известные значения:

$\tan \alpha = \tan 45^\circ = 1$

$\Delta x = 50 \text{ см} \cdot (1 - 0.6278) = 50 \text{ см} \cdot 0.3722 = 18.61$ см

Округлим результат до десятых.

Ответ: Палка воткнется в дно на расстоянии примерно 18.6 см от камня.