Номер 369, страница 106 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Преломление света - номер 369, страница 106.

Условие.

369. Столб вбит в дно реки так, что часть столба высотой 1 м возвышается над водой. Найдите длину тени столба на поверхности воды и на дне реки, если высота солнца над горизонтом $30^\circ$, а глубина реки 2 м.

Решение.

Дано:

Высота столба над водой, $h_1 = 1 \text{ м}$

Глубина реки, $h_2 = 2 \text{ м}$

Высота солнца над горизонтом, $\alpha = 30°$

Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$

Показатель преломления воды, $n_2 = 4/3 \approx 1.33$

Найти:

$L_{пов}$ — длина тени на поверхности воды

$L_{дно}$ — длина тени на дне реки

Решение:

Длина тени столба на поверхности воды

Тень на поверхности воды отбрасывает та часть столба, которая возвышается над водой. Эта часть столба ($h_1$), тень на воде ($L_{пов}$) и солнечный луч образуют прямоугольный треугольник, в котором угол, противолежащий катету $h_1$, равен углу высоты солнца над горизонтом $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan(\alpha) = \frac{h_1}{L_{пов}}$

Отсюда выражаем и вычисляем длину тени на поверхности:

$L_{пов} = \frac{h_1}{\tan(\alpha)} = \frac{1 \text{ м}}{\tan(30°)} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ м} \approx 1.73 \text{ м}$

Ответ: Длина тени на поверхности воды составляет приблизительно $1.73 \text{ м}$.

Длина тени столба на дне реки

Тень на дне реки состоит из двух частей. Первая часть — это тень, падающая на поверхность воды ($L_{пов}$). Вторая часть образуется из-за преломления солнечного луча, идущего от верхушки столба, на границе воздух-вода. Полная длина тени на дне ($L_{дно}$) является суммой длины тени на поверхности и горизонтальной проекции пути преломленного луча в воде ($L_{подводная}$).

Для нахождения угла преломления луча в воде воспользуемся законом Снеллиуса:

$n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

Здесь $\theta_1$ — угол падения, а $\theta_2$ — угол преломления. Углы отсчитываются от нормали к поверхности. Угол падения связан с высотой солнца над горизонтом соотношением $\theta_1 = 90° - \alpha = 90° - 30° = 60°$.

Подставим известные значения:

$1 \cdot \sin(60°) = \frac{4}{3} \sin(\theta_2)$

Отсюда находим синус угла преломления:

$\sin(\theta_2) = \frac{3}{4} \sin(60°) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Длина подводной части тени $L_{подводная}$ находится из прямоугольного треугольника, где катетами являются глубина реки $h_2$ и $L_{подводная}$. Угол, прилежащий к катету $h_2$, равен $\theta_2$.

$L_{подводная} = h_2 \tan(\theta_2)$

Чтобы найти $\tan(\theta_2)$, сначала найдем $\cos(\theta_2)$ через основное тригонометрическое тождество:

$\cos(\theta_2) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_2)} = \sqrt{1 - (\frac{3\sqrt{3}}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{27}{64}} = \sqrt{\frac{37}{64}} = \frac{\sqrt{37}}{8}$

Теперь находим тангенс:

$\tan(\theta_2) = \frac{\sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)} = \frac{3\sqrt{3}/8}{\sqrt{37}/8} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$

Вычисляем длину подводной части тени:

$L_{подводная} = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}} \text{ м} \approx 1.71 \text{ м}$

Полная длина тени на дне реки равна:

$L_{дно} = L_{пов} + L_{подводная} = \sqrt{3} + \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}} \approx 1.73 \text{ м} + 1.71 \text{ м} \approx 3.44 \text{ м}$

Ответ: Длина тени на дне реки составляет приблизительно $3.44 \text{ м}$.