Номер 370, страница 106 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Преломление света - номер 370, страница 106.

Условие.

370. Широкий непрозрачный сосуд доверху наполнен жидкостью с показателем преломления 1,25. Поверхность жидкости закрыли тонкой непрозрачной пластинкой, в которой имеется отверстие радиуса 2 см. Определите диаметр светового пятна на дне сосуда, если он освещается рассеянным светом облачного неба, идущим со всех направлений. Толщина слоя жидкости 6 см.

Решение.

Дано:

Показатель преломления жидкости, $n = 1,25$

Радиус отверстия, $r = 2$ см

Толщина слоя жидкости, $h = 6$ см

Перевод в СИ:

$r = 0,02$ м

$h = 0,06$ м

Найти:

Диаметр светового пятна на дне сосуда, $\text{D}$

Решение:

Рассеянный свет от облачного неба означает, что световые лучи падают на поверхность жидкости под всевозможными углами от $0^\circ$ до $90^\circ$. Размер светового пятна на дне сосуда будет определяться лучами, которые преломляются на границе воздух-жидкость под максимальным углом.

Максимальный угол преломления $\beta_{max}$ соответствует максимальному углу падения $\alpha_{max} = 90^\circ$ (лучи, скользящие вдоль поверхности). Для нахождения этого угла воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$n_{1}\sin\alpha = n_{2}\sin\beta$

где $n_1$ — показатель преломления воздуха ($n_1 \approx 1$), $n_2 = n$ — показатель преломления жидкости.

$1 \cdot \sin(90^\circ) = n \cdot \sin(\beta_{max})$

Так как $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:

$1 = n \cdot \sin(\beta_{max})$

$\sin(\beta_{max}) = \frac{1}{n} = \frac{1}{1,25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} = 0,8$

Световое пятно на дне будет состоять из центральной части, являющейся проекцией отверстия (круга радиусом $\text{r}$), и освещенной области вокруг нее, создаваемой преломленными лучами. Максимальный радиус светового пятна $\text{R}$ будет у луча, который прошел через край отверстия и преломился под максимальным углом $\beta_{max}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный преломленным лучом, нормалью к поверхности и дном сосуда. Катетами этого треугольника являются глубина жидкости $\text{h}$ и горизонтальное смещение луча $\Delta x$. Тангенс угла преломления равен:

$\tan(\beta_{max}) = \frac{\Delta x}{h}$

Отсюда, $\Delta x = h \cdot \tan(\beta_{max})$.

Найдем $\tan(\beta_{max})$, зная $\sin(\beta_{max})$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:

$\cos(\beta_{max}) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta_{max})} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Тогда тангенс угла:

$\tan(\beta_{max}) = \frac{\sin(\beta_{max})}{\cos(\beta_{max})} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3}$

Радиус светового пятна на дне $\text{R}$ будет равен сумме радиуса отверстия $\text{r}$ и горизонтального смещения луча $\Delta x$:

$R = r + \Delta x = r + h \cdot \tan(\beta_{max})$

Подставим числовые значения (вычисления удобнее вести в сантиметрах):

$R = 2 \text{ см} + 6 \text{ см} \cdot \frac{4}{3} = 2 \text{ см} + 8 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Диаметр светового пятна $\text{D}$ равен удвоенному радиусу:

$D = 2R = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Ответ: $20 \text{ см}$.