Номер 156, страница 24 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

7 класс. Взаимодействие тел. 7. Скорость. Единицы скорости. Расчёт пути и времени движения - номер 156, страница 24.

Решение.

Дано:

Скорость первого поезда, $v_1 = 30$ км/ч
Скорость второго поезда, $v_2 = 40$ км/ч
Задержка отправления второго поезда, $\Delta t = 10$ мин
Время движения первого поезда до остановки, $t_{движ1} = 40$ мин
Время остановки первого поезда, $t_{ост} = 5$ мин

Для удобства расчетов и построения графика переведем скорости в км/мин:
$v_1 = 30 \frac{км}{ч} = \frac{30}{60} \frac{км}{мин} = 0.5 \frac{км}{мин}$
$v_2 = 40 \frac{км}{ч} = \frac{40}{60} \frac{км}{мин} = \frac{2}{3} \frac{км}{мин}$
Для вычислений переведем время в часы:
$\Delta t = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$
$t_{движ1} = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$
$t_{ост} = 5 \text{ мин} = \frac{5}{60} \text{ ч} = \frac{1}{12} \text{ ч}$

Найти:

Время $t_{встр}$ и расстояние $S_{встр}$ от станции, где второй поезд догонит первый.

Решение:

Определите графически, когда и на каком расстоянии от станции второй поезд догонит первый.

Для графического решения построим в одной системе координат графики зависимости расстояния $\text{S}$ (в км) от времени $\text{t}$ (в мин) для каждого поезда. За начало отсчета времени ($t=0$) примем момент отправления первого поезда.

График движения первого поезда (ломаная линия):
1. С момента $t=0$ до $t=40$ мин поезд движется равномерно. За это время он пройдет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_{движ1} = 0.5 \frac{км}{мин} \cdot 40 \text{ мин} = 20$ км. Этот участок на графике — прямая линия, соединяющая точки (0; 0) и (40; 20).
2. С $t=40$ мин до $t=40+5=45$ мин поезд стоит. Его расстояние от станции не меняется. Этот участок — горизонтальная линия между точками (40; 20) и (45; 20).
3. После $t=45$ мин поезд снова движется со скоростью $0.5$ км/мин. График — прямая, выходящая из точки (45; 20) с тем же наклоном, что и на первом участке.

График движения второго поезда (прямая линия):
Второй поезд отправляется через 10 минут после первого ($t=10$ мин) и движется с постоянной скоростью $v_2 = \frac{2}{3}$ км/мин. Его график — прямая линия, выходящая из точки (10; 0).

Точка пересечения графиков движения двух поездов соответствует моменту и месту их встречи.
Чтобы найти эту точку, определим положение второго поезда в момент, когда первый поезд останавливается ($t=40$ мин). К этому моменту второй поезд будет в пути $40 - 10 = 30$ мин.
Расстояние, которое он пройдет: $S_2 = v_2 \cdot (40 - 10) = \frac{2}{3} \frac{км}{мин} \cdot 30 \text{ мин} = 20$ км.
В момент времени $t=40$ мин первый поезд также находится на расстоянии 20 км от станции.
Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами (40 мин; 20 км). Это означает, что второй поезд догонит первый ровно в тот момент, когда первый поезд начнет свою остановку.

Ответ: Второй поезд догонит первый через 40 минут после отправления первого поезда на расстоянии 20 км от станции.

Графическое решение проверьте вычислением.

Составим уравнения движения для обоих поездов. Время $\text{t}$ будем измерять в часах от момента отправления первого поезда, а расстояние $\text{S}$ — в километрах.

Уравнение движения второго поезда, который начинает движение в момент $t = \frac{1}{6}$ ч:
$S_2(t) = v_2 (t - \frac{1}{6}) = 40(t - \frac{1}{6})$, при $t \ge \frac{1}{6}$ ч.

Движение первого поезда описывается piecewise (кусочно). Предположим, что встреча произойдет на первом участке движения первого поезда, то есть в интервале времени $0 \le t \le \frac{2}{3}$ ч.
Уравнение движения первого поезда на этом участке: $S_1(t) = v_1 t = 30t$.

В момент встречи их координаты должны быть равны: $S_1(t) = S_2(t)$. Встреча может произойти только при $t \ge \frac{1}{6}$ ч (когда оба поезда движутся). Приравняем уравнения для интервала времени $\frac{1}{6} \le t \le \frac{2}{3}$:
$30t = 40(t - \frac{1}{6})$
$30t = 40t - \frac{40}{6}$
$10t = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$
$t = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ ч.

Полученное время $t = \frac{2}{3}$ ч равно верхней границе рассматриваемого интервала, то есть наше предположение верно. Встреча произойдет ровно в момент начала остановки первого поезда.
Переведем время в минуты: $t = \frac{2}{3} \text{ ч} \cdot 60 \frac{мин}{ч} = 40$ мин.
Найдем расстояние от станции, подставив найденное время в любое из уравнений:
$S_{встр} = S_1(\frac{2}{3}) = 30 \cdot \frac{2}{3} = 20$ км.
Проверим по второму уравнению:
$S_{встр} = S_2(\frac{2}{3}) = 40(\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) = 40(\frac{4-1}{6}) = 40 \cdot \frac{3}{6} = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ км.
Расчеты подтверждают результат, полученный графическим методом.

Ответ: Расчет подтверждает, что второй поезд догонит первый через 40 минут после отправления первого на расстоянии 20 км от станции.