Номер 2, страница 30 - гдз по физике 7 класс учебник Закирова, Аширов

2. Как выполняются действия с числами в стандартном виде?

1. Стандартной записью числа (или стандартным видом числа) называют его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $\text{n}$ является целым числом.

Эта форма записи особенно удобна для представления очень больших или очень маленьких чисел.

• Число $\text{a}$ называется мантиссой числа. Она должна быть в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно).
• Число $\text{n}$ называется порядком числа. Оно показывает, на сколько разрядов и в какую сторону нужно сместить десятичную запятую в мантиссе, чтобы получить исходное число.

Пример 1: Запишем число 345000 в стандартном виде.
Нужно представить его как произведение числа от 1 до 10 и степени 10.
$345000 = 3.45 \cdot 100000 = 3.45 \cdot 10^5$.
Здесь мантисса $a = 3.45$, а порядок $n = 5$.

Пример 2: Запишем число 0.0078 в стандартном виде.
$0.0078 = 7.8 \cdot 0.001 = 7.8 \cdot 10^{-3}$.
Здесь мантисса $a = 7.8$, а порядок $n = -3$.

Ответ: Стандартная запись числа — это его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $\text{n}$ — целое число. Эта форма удобна для записи очень больших и очень маленьких чисел.

2. Арифметические действия с числами, записанными в стандартном виде, выполняются на основе свойств степеней и действий с десятичными дробями. После выполнения операции результат часто требуется снова привести к стандартному виду.

Умножение и деление

При умножении двух чисел в стандартном виде $(a \cdot 10^n) \cdot (b \cdot 10^m)$ их мантиссы перемножаются, а показатели степеней (порядки) складываются:
$(a \cdot 10^n) \cdot (b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{n+m}$

При делении мантисса делимого делится на мантиссу делителя, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя:
$\frac{a \cdot 10^n}{b \cdot 10^m} = \frac{a}{b} \cdot 10^{n-m}$

Пример умножения: $(2.5 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^4) = (2.5 \cdot 5) \cdot 10^{3+4} = 12.5 \cdot 10^7$.
Результат $12.5 \cdot 10^7$ не в стандартном виде, так как мантисса $12.5 \ge 10$. Приведем его к стандартному виду:
$12.5 \cdot 10^7 = (1.25 \cdot 10^1) \cdot 10^7 = 1.25 \cdot 10^{1+7} = 1.25 \cdot 10^8$.

Пример деления: $(8.4 \cdot 10^7) : (4 \cdot 10^2) = (8.4 / 4) \cdot 10^{7-2} = 2.1 \cdot 10^5$.
Здесь результат сразу получился в стандартном виде.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание чисел в стандартном виде возможно только тогда, когда у них одинаковые порядки (одинаковые показатели степени $\text{n}$). Если порядки разные, то одно из чисел преобразуют так, чтобы его порядок стал равен порядку другого числа.

1. Привести числа к одному порядку (обычно к большему). Для этого мантиссу умножают или делят на степень 10.
2. Сложить или вычесть полученные мантиссы.
3. Общий множитель $10^n$ вынести за скобки.
4. При необходимости привести результат к стандартному виду.

Пример сложения: $(3.7 \cdot 10^5) + (5.2 \cdot 10^4)$
Порядки разные (5 и 4). Приведем второе число к порядку 5:
$5.2 \cdot 10^4 = (5.2 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{4+1} = 0.52 \cdot 10^5$.
Теперь выполним сложение:
$3.7 \cdot 10^5 + 0.52 \cdot 10^5 = (3.7 + 0.52) \cdot 10^5 = 4.22 \cdot 10^5$.

Пример вычитания: $(7.1 \cdot 10^{-2}) - (2 \cdot 10^{-3})$
Приведем второе число к порядку -2:
$2 \cdot 10^{-3} = (2 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-3+1} = 0.2 \cdot 10^{-2}$.
Выполним вычитание:
$7.1 \cdot 10^{-2} - 0.2 \cdot 10^{-2} = (7.1 - 0.2) \cdot 10^{-2} = 6.9 \cdot 10^{-2}$.

Возведение в степень

При возведении числа в стандартном виде в степень, в эту степень возводят и мантиссу, и множитель $10^n$:
$(a \cdot 10^n)^k = a^k \cdot (10^n)^k = a^k \cdot 10^{n \cdot k}$

Пример: $(2 \cdot 10^3)^4 = 2^4 \cdot 10^{3 \cdot 4} = 16 \cdot 10^{12}$.
Приведем результат к стандартному виду:
$16 \cdot 10^{12} = (1.6 \cdot 10^1) \cdot 10^{12} = 1.6 \cdot 10^{13}$.

Ответ: Действия с числами в стандартном виде выполняются по правилам действий со степенями. При умножении и делении мантиссы перемножаются/делятся, а показатели степеней складываются/вычитаются. При сложении и вычитании числа сначала приводят к одному порядку (одинаковому показателю степени), а затем складывают или вычитают их мантиссы. При возведении в степень отдельно возводят мантиссу и степенной множитель. После выполнения операции результат при необходимости приводят к стандартному виду.