Номер 65, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 65, страница 25.

Условие.

65 $ \square $ Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

a) сумма двух из них равна $114^\circ$;

б) сумма трёх углов равна $220^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) сумма двух из них равна 114°

При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Поскольку в условии дана сумма $114^\circ$, что не равно $180^\circ$, рассматриваемые углы не могут быть смежными. Значит, это вертикальные углы.

Вертикальные углы равны. Пусть величина каждого из этих двух углов равна $\alpha$. Тогда их сумма составляет:

$\alpha + \alpha = 114^\circ$

$2\alpha = 114^\circ$

$\alpha = \frac{114^\circ}{2} = 57^\circ$

Итак, два угла из четырёх равны по $57^\circ$. Два других угла являются смежными к ним. Пусть их величина равна $\beta$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$, следовательно:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ$

Эти два угла также являются вертикальными и равны по $123^\circ$.

Таким образом, при пересечении прямых образовались углы: два по $57^\circ$ и два по $123^\circ$.

Ответ: $57^\circ, 123^\circ, 57^\circ, 123^\circ$.

б) сумма трёх углов равна 220°

Сумма всех четырёх неразвёрнутых углов, образованных при пересечении двух прямых, всегда равна $360^\circ$.

По условию, сумма трёх из этих углов равна $220^\circ$. Чтобы найти величину четвёртого угла, нужно вычесть сумму трёх углов из $360^\circ$:

$360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$

Итак, один из углов равен $140^\circ$. Угол, вертикальный ему, также равен $140^\circ$.

Два оставшихся угла являются смежными к углу в $140^\circ$. Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$, величина каждого из этих углов будет:

$180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

Эти два угла также являются вертикальными и равны по $40^\circ$.

Таким образом, при пересечении прямых образовались углы: два по $40^\circ$ и два по $140^\circ$.

Проверка: сумма трёх углов может быть $40^\circ + 140^\circ + 40^\circ = 220^\circ$ или $140^\circ + 40^\circ + 140^\circ = 320^\circ$. Первый вариант соответствует условию задачи.

Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.