Номер 66, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 66, страница 25.

Условие.

66 □ На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если:

a) $\angle 2 + \angle 4 = 220^\circ$;

б) $3 (\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4$;

в) $\angle 2 - \angle 1 = 30^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку на рисунке 41, который не приложен к задаче, изображены углы с номерами 1, 2, 3 и 4, логично предположить, что они образованы пересечением двух прямых. В этом случае образуются пары вертикальных и смежных углов.

Основные свойства таких углов:

• Вертикальные углы равны: $ \angle 1 = \angle 3 $ и $ \angle 2 = \angle 4 $.
• Смежные углы в сумме дают 180°: $ \angle 1 + \angle 2 = 180° $, $ \angle 2 + \angle 3 = 180° $, и так далее.

Используя эти свойства, решим каждый пункт задачи.

а) $ \angle 2 + \angle 4 = 220° $

Углы $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $ являются вертикальными, следовательно, они равны: $ \angle 2 = \angle 4 $. Подставим это в данное равенство: $ \angle 2 + \angle 2 = 220° $ $ 2\angle 2 = 220° $ $ \angle 2 = 110° $ Соответственно, $ \angle 4 = 110° $.

Углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ являются смежными, их сумма равна 180°. $ \angle 1 + \angle 2 = 180° $ $ \angle 1 = 180° - \angle 2 = 180° - 110° = 70° $

Углы $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ являются вертикальными, следовательно, $ \angle 3 = \angle 1 = 70° $.

Ответ: $ \angle 1 = 70°, \angle 2 = 110°, \angle 3 = 70°, \angle 4 = 110° $.

б) $ 3(\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4 $

Используем свойства вертикальных углов: $ \angle 1 = \angle 3 $ и $ \angle 2 = \angle 4 $. Подставим их в уравнение: $ 3(\angle 1 + \angle 1) = \angle 2 + \angle 2 $ $ 3(2\angle 1) = 2\angle 2 $ $ 6\angle 1 = 2\angle 2 $ $ \angle 2 = 3\angle 1 $

Теперь воспользуемся свойством смежных углов: $ \angle 1 + \angle 2 = 180° $. Подставим в это уравнение найденное соотношение $ \angle 2 = 3\angle 1 $: $ \angle 1 + 3\angle 1 = 180° $ $ 4\angle 1 = 180° $ $ \angle 1 = 180° / 4 = 45° $

Теперь найдем остальные углы: $ \angle 3 = \angle 1 = 45° $ (как вертикальные). $ \angle 2 = 3\angle 1 = 3 \cdot 45° = 135° $. $ \angle 4 = \angle 2 = 135° $ (как вертикальные).

Ответ: $ \angle 1 = 45°, \angle 2 = 135°, \angle 3 = 45°, \angle 4 = 135° $.

в) $ \angle 2 - \angle 1 = 30° $

У нас есть одно уравнение из условия задачи. Второе уравнение мы можем составить из свойства смежных углов: $ \angle 1 + \angle 2 = 180° $. Получаем систему из двух уравнений: $ \begin{cases} \angle 2 - \angle 1 = 30° \\ \angle 2 + \angle 1 = 180° \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $ (\angle 2 - \angle 1) + (\angle 2 + \angle 1) = 30° + 180° $ $ 2\angle 2 = 210° $ $ \angle 2 = 105° $

Теперь найдем $ \angle 1 $, подставив значение $ \angle 2 $ во второе уравнение системы: $ 105° + \angle 1 = 180° $ $ \angle 1 = 180° - 105° = 75° $

Остальные углы находим из свойства вертикальных углов: $ \angle 3 = \angle 1 = 75° $ $ \angle 4 = \angle 2 = 105° $

Ответ: $ \angle 1 = 75°, \angle 2 = 105°, \angle 3 = 75°, \angle 4 = 105° $.