Номер 70, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 70, страница 25.

Условие.

70 ☐ Через точку $A$, не лежащую на прямой $a$, проведены три прямые, пересекающие прямую $a$. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Допустим, что утверждение задачи неверно. Это означает, что из трех различных прямых, проведенных через точку $A$ и пересекающих прямую $a$, по крайней мере две являются перпендикулярными прямой $a$. Обозначим эти две различные прямые как $b_1$ и $b_2$.

Таким образом, согласно нашему допущению, мы имеем две различные прямые ($b_1$ и $b_2$), которые одновременно проходят через точку $A$ (не лежащую на прямой $a$) и перпендикулярны прямой $a$. Математически это можно записать так: $b_1 \perp a$ и $b_2 \perp a$.

Однако это противоречит фундаментальной теореме планиметрии о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Теорема гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

Поскольку по условию точка $A$ не лежит на прямой $a$, то через нее может проходить лишь одна-единственная прямая, перпендикулярная прямой $a$. Наше допущение о существовании двух таких различных прямых ($b_1$ и $b_2$) является ложным.

Следовательно, из трех прямых, проведенных через точку $A$, перпендикулярной к прямой $a$ может быть не более одной. Так как всего по условию проведено три прямые, то как минимум $3 - 1 = 2$ из них не могут быть перпендикулярными к прямой $a$.

Ответ: Утверждение доказано. Так как через точку, не лежащую на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой, то из трех данных прямых, проходящих через точку $A$, не более одной может быть перпендикулярна прямой $a$. Следовательно, по крайней мере две из них не перпендикулярны прямой $a$.