Номер 68, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 68, страница 25.

Условие.

68. На рисунке 48 $\angle AOB = 50^\circ$, $\angle FOE = 70^\circ$. Найдите углы $\angle AOC$, $\angle BOD$, $\angle COE$ и $\angle COD$.

Рис. 48

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов. Вертикальные углы — это углы, образованные при пересечении двух прямых, они равны между собой. Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга; их сумма равна $180^\circ$.

Из условия нам даны $ \angle AOB = 50^\circ $ и $ \angle FOE = 70^\circ $.

AOC

Углы $ \angle BOC $ и $ \angle FOE $ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых BE и CF. Следовательно, они равны:

$ \angle BOC = \angle FOE = 70^\circ $

Угол $ \angle AOC $ является суммой смежных углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $.

$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ $

Ответ: $ \angle AOC = 120^\circ $.

BOD

Углы $ \angle AOB $ и $ \angle BOD $ являются смежными, так как их стороны OA и OD лежат на одной прямой AD. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$ \angle AOB + \angle BOD = 180^\circ $

Отсюда выразим и найдем $ \angle BOD $:

$ \angle BOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $

Ответ: $ \angle BOD = 130^\circ $.

COE и COD

Для нахождения этих углов нам понадобится величина угла $ \angle DOE $. Углы $ \angle DOE $ и $ \angle AOB $ являются вертикальными, так как образованы пересечением прямых AD и BE. Следовательно, они равны:

$ \angle DOE = \angle AOB = 50^\circ $

Теперь рассмотрим прямую BE. Углы $ \angle BOC $, $ \angle COD $ и $ \angle DOE $ вместе образуют развернутый угол $ \angle BOE $, сумма которых равна $180^\circ$.

$ \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 180^\circ $

Мы уже знаем, что $ \angle BOC = 70^\circ $ (как вертикальный к $ \angle FOE $) и $ \angle DOE = 50^\circ $. Подставим эти значения в уравнение:

$ 70^\circ + \angle COD + 50^\circ = 180^\circ $

$ 120^\circ + \angle COD = 180^\circ $

$ \angle COD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $

Теперь, зная $ \angle COD $ и $ \angle DOE $, мы можем найти угол $ \angle COE $ как их сумму, так как они являются смежными.

$ \angle COE = \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ $

Ответ: $ \angle COE = 110^\circ $, $ \angle COD = 60^\circ $.