Номер 61, страница 24 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 61, страница 24.

Условие.

61 Найдите смежные углы $hk$ и $kl$, если:

а) $\angle hk$ меньше $\angle kl$ на $40^\circ$;

б) $\angle hk$ больше $\angle kl$ на $120^\circ$;

в) $\angle hk$ больше $\angle kl$ на $47^\circ 18'$;

г) $\angle hk=3\angle kl$;

д) $\angle hk : \angle kl=5 : 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Сумма смежных углов равна $180°$. Это основное свойство, которое мы будем использовать для решения всех пунктов задачи. Таким образом, для углов $∠hk$ и $∠kl$ справедливо равенство: $∠hk + ∠kl = 180°$.

а) По условию, $∠hk$ меньше $∠kl$ на $40°$, что можно записать как $∠hk = ∠kl - 40°$.
Подставим это выражение в основное равенство смежных углов:
$(∠kl - 40°) + ∠kl = 180°$
$2∠kl - 40° = 180°$
$2∠kl = 180° + 40°$
$2∠kl = 220°$
$∠kl = \frac{220°}{2} = 110°$
Теперь, зная $∠kl$, найдем $∠hk$:
$∠hk = 110° - 40° = 70°$
Ответ: $∠hk = 70°$, $∠kl = 110°$.

б) По условию, $∠hk$ больше $∠kl$ на $120°$, что можно записать как $∠hk = ∠kl + 120°$.
Подставим это выражение в основное равенство:
$(∠kl + 120°) + ∠kl = 180°$
$2∠kl + 120° = 180°$
$2∠kl = 180° - 120°$
$2∠kl = 60°$
$∠kl = \frac{60°}{2} = 30°$
Теперь найдем $∠hk$:
$∠hk = 30° + 120° = 150°$
Ответ: $∠hk = 150°$, $∠kl = 30°$.

в) По условию, $∠hk$ больше $∠kl$ на $47°18'$, то есть $∠hk = ∠kl + 47°18'$.
Подставим это выражение в основное равенство:
$(∠kl + 47°18') + ∠kl = 180°$
$2∠kl + 47°18' = 180°$
$2∠kl = 180° - 47°18'$
Для выполнения вычитания представим $180°$ как $179°60'$ (поскольку $1° = 60'$):
$2∠kl = 179°60' - 47°18' = (179-47)°(60-18)' = 132°42'$
Теперь разделим результат на 2, чтобы найти $∠kl$:
$∠kl = \frac{132°42'}{2} = 66°21'$
Найдем $∠hk$:
$∠hk = 66°21' + 47°18' = (66+47)°(21+18)' = 113°39'$
Ответ: $∠hk = 113°39'$, $∠kl = 66°21'$.

г) По условию, $∠hk = 3∠kl$.
Подставим это выражение в основное равенство:
$3∠kl + ∠kl = 180°$
$4∠kl = 180°$
$∠kl = \frac{180°}{4} = 45°$
Теперь найдем $∠hk$:
$∠hk = 3 \cdot 45° = 135°$
Ответ: $∠hk = 135°$, $∠kl = 45°$.

д) По условию, отношение углов $∠hk : ∠kl = 5 : 4$.
Это означает, что углы можно представить как $∠hk = 5x$ и $∠kl = 4x$, где $x$ — некоторая общая мера (одна часть).
Подставим эти выражения в основное равенство:
$5x + 4x = 180°$
$9x = 180°$
$x = \frac{180°}{9} = 20°$
Теперь найдем величины углов:
$∠hk = 5 \cdot 20° = 100°$
$∠kl = 4 \cdot 20° = 80°$
Ответ: $∠hk = 100°$, $∠kl = 80°$.