Номер 69, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 69, страница 25.

Условие.

69 □ Прямая $a$ пересекает стороны угла $A$ в точках $P$ и $Q$. Могут ли обе прямые $AP$ и $AQ$ быть перпендикулярными к прямой $a$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Предположим, что обе прямые $AP$ и $AQ$ могут быть перпендикулярны к прямой $a$.

По условию, прямые $AP$ и $AQ$ являются сторонами угла с вершиной в точке $A$. Это означает, что они являются двумя различными прямыми, пересекающимися в точке $A$. (Если бы прямые совпадали, то угол был бы нулевым или развернутым, и прямая $a$ не могла бы пересечь его стороны в двух различных точках $P$ и $Q$).

Если прямая $AP$ перпендикулярна прямой $a$ ($AP \perp a$) и прямая $AQ$ перпендикулярна прямой $a$ ($AQ \perp a$), то по свойству перпендикулярных прямых (две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой), прямая $AP$ должна быть параллельна прямой $AQ$ ($AP \parallel AQ$).

Таким образом, мы приходим к противоречию:

• Из условия следует, что прямые $AP$ и $AQ$ пересекаются в точке $A$.
• Из нашего предположения следует, что прямые $AP$ и $AQ$ должны быть параллельны, а значит, не должны пересекаться (так как это различные прямые).

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, обе прямые $AP$ и $AQ$ не могут быть одновременно перпендикулярными к прямой $a$.

Ответ: Нет, не могут.