Номер 11, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Отрезок длиной 16 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами средних отрезков равно 4 см. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.

11. Отрезок длиной 16 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами средних отрезков равно 4 см. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.

Пусть исходный отрезок разделен на четыре последовательных отрезка с длинами $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$. Сумма их длин равна общей длине исходного отрезка:

$l_1 + l_2 + l_3 + l_4 = 16$ см.

Средними отрезками являются второй ($l_2$) и третий ($l_3$). Крайними отрезками — первый ($l_1$) и четвертый ($l_4$).

Расстояние между серединами двух смежных отрезков равно сумме половин их длин. По условию, расстояние между серединами средних отрезков (второго и третьего) равно 4 см. Математически это можно записать так:

$\frac{l_2}{2} + \frac{l_3}{2} = 4$ см.

Из этого уравнения найдем сумму длин средних отрезков, умножив обе части на 2:

$l_2 + l_3 = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Теперь, зная сумму длин средних отрезков, мы можем найти сумму длин крайних отрезков из уравнения для общей длины:

$l_1 + (l_2 + l_3) + l_4 = 16$ см

$l_1 + 8 + l_4 = 16$ см

$l_1 + l_4 = 16 - 8$

$l_1 + l_4 = 8$ см.

Требуется найти расстояние между серединами крайних отрезков (первого и четвертого). Это расстояние включает в себя половину длины первого отрезка, полные длины второго и третьего отрезков и половину длины четвертого отрезка. Выразим это формулой:

Искомое расстояние = $\frac{l_1}{2} + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2}$.

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

Искомое расстояние = $(l_2 + l_3) + (\frac{l_1}{2} + \frac{l_4}{2}) = (l_2 + l_3) + \frac{l_1 + l_4}{2}$.

Теперь подставим найденные ранее значения сумм длин:

Искомое расстояние = $8 + \frac{8}{2} = 8 + 4 = 12$ см.

Ответ: 12 см.