Номер 16, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Длина отрезка $DK$ равна $10 \text{ см}$. Найдите на прямой $DK$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $DK$ равна:

1) $10 \text{ см}$;

2) $12 \text{ см}$;

3) $8 \text{ см}$.

16. Длина отрезка $DK$ равна 10 см. Найдите на прямой $DK$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $DK$ равна: 1) 10 см; 2) 12 см; 3) 8 см.

Пусть искомая точка на прямой $DK$ обозначена как $M$. Расстояние между точками $D$ и $K$ равно $DK = 10$ см. Сумма расстояний от точки $M$ до концов отрезка $DK$ равна $MD + MK$. Для решения задачи рассмотрим три возможных случая расположения точки $M$ на прямой $DK$ относительно отрезка $DK$.

Случай 1: Точка $M$ лежит на отрезке $DK$ (включая концы $D$ и $K$). В этом случае, по свойству отрезка, сумма расстояний от точки $M$ до его концов равна длине самого отрезка: $MD + MK = DK = 10$ см.

Случай 2: Точка $M$ лежит на прямой $DK$ вне отрезка $DK$. В этом случае, согласно неравенству треугольника (которое для точек на одной прямой гласит, что расстояние между двумя точками не меньше суммы расстояний от них до третьей точки, если она лежит между ними), сумма расстояний от точки $M$ до концов отрезка будет строго больше длины отрезка: $MD + MK > DK$, то есть $MD + MK > 10$ см.

1) 10 см

Требуется найти все точки $M$ на прямой $DK$, для которых сумма расстояний $MD + MK = 10$ см. Как было показано в Случае 1, это условие выполняется для всех точек $M$, которые принадлежат отрезку $DK$, включая его концы.
Ответ: все точки отрезка $DK$.

2) 12 см

Требуется найти все точки $M$ на прямой $DK$, для которых сумма расстояний $MD + MK = 12$ см. Поскольку $12 > 10$, такие точки должны лежать вне отрезка $DK$ (согласно Случаю 2). Рассмотрим два подслучая:

а) Точка $M_1$ лежит на продолжении отрезка за точку $K$. Тогда точки на прямой расположены в порядке $D, K, M_1$. Расстояние $DM_1 = DK + KM_1 = 10 + KM_1$. Сумма расстояний равна $DM_1 + KM_1 = (10 + KM_1) + KM_1 = 10 + 2KM_1$. Приравниваем эту сумму к 12 см: $10 + 2KM_1 = 12$ $2KM_1 = 12 - 10 = 2$ $KM_1 = 1$ см. Следовательно, одна из точек находится на расстоянии 1 см от точки $K$ на продолжении отрезка.

б) Точка $M_2$ лежит на продолжении отрезка за точку $D$. Тогда точки на прямой расположены в порядке $M_2, D, K$. Расстояние $M_2K = M_2D + DK = M_2D + 10$. Сумма расстояний равна $M_2D + M_2K = M_2D + (M_2D + 10) = 2M_2D + 10$. Приравниваем эту сумму к 12 см: $2M_2D + 10 = 12$ $2M_2D = 12 - 10 = 2$ $M_2D = 1$ см. Следовательно, вторая точка находится на расстоянии 1 см от точки $D$ на продолжении отрезка.
Ответ: две точки: одна на расстоянии 1 см от точки $K$ на продолжении отрезка за точку $K$, и вторая на расстоянии 1 см от точки $D$ на продолжении отрезка за точку $D$.

3) 8 см

Требуется найти все точки $M$ на прямой $DK$, для которых сумма расстояний $MD + MK = 8$ см. Как было показано, для любой точки $M$ на прямой $DK$ выполняется неравенство $MD + MK \ge DK$, то есть $MD + MK \ge 10$ см. Минимальное значение суммы расстояний равно 10 см и достигается только для точек на самом отрезке $DK$. Поскольку $8 < 10$, не существует ни одной точки на прямой $DK$, для которой сумма расстояний до концов отрезка была бы равна 8 см.
Ответ: таких точек не существует.