Номер 13, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Начертите отрезок $EF$, длина которого равна 6 см. Отметьте на прямой $EF$ такую точку $O$, что $EO - FO = 4$ см.

13. Начертите отрезок $EF$, длина которого равна $6 \text{ см}$. Отметьте на прямой $EF$ такую точку $O$, что $EO - FO = 4 \text{ см}$.

По условию задачи, дан отрезок $EF$ длиной 6 см. Необходимо найти на прямой $EF$ такую точку $O$, чтобы выполнялось равенство $EO - FO = 4$ см, где $EO$ и $FO$ — это расстояния (длины отрезков) от точки $O$ до точек $E$ и $F$ соответственно.

Рассмотрим все возможные случаи расположения точки $O$ на прямой относительно точек $E$ и $F$.

Случай 1: Точка O лежит на отрезке EF (между точками E и F).
Если точка $O$ находится на отрезке $EF$, то сумма длин отрезков $EO$ и $FO$ равна длине всего отрезка $EF$:
$EO + FO = EF = 6$ см.
По условию задачи мы также имеем:
$EO - FO = 4$ см.
Таким образом, мы получаем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} EO + FO = 6 \\ EO - FO = 4 \end{cases} $
Сложив оба уравнения, получим: $(EO + FO) + (EO - FO) = 6 + 4$, что дает $2 \cdot EO = 10$, откуда $EO = 5$ см.
Теперь подставим найденное значение $EO$ в первое уравнение, чтобы найти $FO$: $5 + FO = 6$, откуда $FO = 1$ см.
Проверим, выполняется ли исходное условие: $EO - FO = 5 - 1 = 4$ см. Условие выполняется. Следовательно, это верное решение.

Случай 2: Точка O лежит вне отрезка EF.
а) Точка O лежит на продолжении отрезка за точкой F. Порядок точек на прямой: E, F, O. В этом случае расстояние $EO$ равно сумме длин $EF$ и $FO$, то есть $EO = EF + FO = 6 + FO$. Тогда разность $EO - FO$ будет равна $6$ см. Это противоречит условию задачи, где разность равна 4 см.
б) Точка O лежит на продолжении отрезка за точкой E. Порядок точек на прямой: O, E, F. В этом случае расстояние $FO$ равно сумме длин $OE$ и $EF$, то есть $FO = OE + EF = OE + 6$. Тогда разность $EO - FO$ будет равна $EO - (EO + 6) = -6$ см. Это также противоречит условию задачи.
Таким образом, точка $O$ не может лежать вне отрезка $EF$.

Единственное возможное решение — точка $O$ находится на отрезке $EF$ на расстоянии 5 см от точки $E$ и 1 см от точки $F$.
Для построения необходимо начертить отрезок $EF$ длиной 6 см и от точки $E$ отложить 5 см в сторону точки $F$, отметив точку $O$.

Ответ: Точка $O$ должна быть отмечена на отрезке $EF$ на расстоянии 5 см от точки $E$.