Номер 42, страница 57 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. На рисунке 150 $\angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK = 300^{\circ}$. Найдите углы $PSQ$ и $QSF$.

Рис. 150

42. На рисунке 150 $\angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK = 300^\circ$. Найдите углы $PSQ$ и $QSF$.

Рис. 150

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые, которые образуют четыре угла вокруг точки пересечения S. Сумма этих четырех углов составляет $360^\circ$.

$ \angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK + \angle KSP = 360^\circ $

По условию задачи нам дана сумма трех из этих углов:

$ \angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK = 300^\circ $

Используя эти два равенства, мы можем найти величину четвертого угла, $ \angle KSP $, вычтя второе уравнение из первого:

$ \angle KSP = 360^\circ - (\angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK) = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ $

Углы $ \angle QSF $ и $ \angle KSP $ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых QK и PF и лежат друг против друга. Вертикальные углы равны. Следовательно:

$ \angle QSF = \angle KSP = 60^\circ $

Углы $ \angle PSQ $ и $ \angle QSF $ являются смежными, так как они имеют общую сторону QS, а две другие их стороны, PS и SF, образуют прямую линию PF. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$ \angle PSQ + \angle QSF = 180^\circ $

Теперь мы можем найти $ \angle PSQ $, подставив известное значение $ \angle QSF $:

$ \angle PSQ + 60^\circ = 180^\circ $

$ \angle PSQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

Итак, мы нашли искомые углы.

Ответ: $ \angle PSQ = 120^\circ $, $ \angle QSF = 60^\circ $.