Номер 6.16, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.16. Чему равен угол между биссектрисами вертикальных углов?

Пусть две прямые пересекаются в точке $O$. При пересечении образуются две пары вертикальных углов. Возьмем одну пару таких углов, например, $\angle AOB$ и $\angle COD$.

По определению, вертикальные углы равны. Обозначим величину этих углов через $\alpha$:

$\angle AOB = \angle COD = \alpha$

Проведем биссектрису $OM$ угла $\angle AOB$ и биссектрису $ON$ угла $\angle COD$. Биссектриса делит угол пополам, следовательно:

$\angle MOB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{\alpha}{2}$

$\angle CON = \frac{1}{2}\angle COD = \frac{\alpha}{2}$

Мы хотим найти угол между биссектрисами $OM$ и $ON$, то есть $\angle MON$.

Рассмотрим угол $\angle BOC$. Он является смежным с углом $\angle AOB$, так как вместе они образуют развернутый угол на прямой $AC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Подставив $\angle AOB = \alpha$, получим:

$\alpha + \angle BOC = 180^\circ \implies \angle BOC = 180^\circ - \alpha$

Угол $\angle MON$ состоит из трех углов: $\angle MOB$, $\angle BOC$ и $\angle CON$. Его величину можно найти, сложив величины этих углов:

$\angle MON = \angle MOB + \angle BOC + \angle CON$

Подставим известные значения в это равенство:

$\angle MON = \frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$

Сгруппируем и упростим выражение:

$\angle MON = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) + 180^\circ - \alpha$

$\angle MON = \alpha + 180^\circ - \alpha$

$\angle MON = 180^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами двух вертикальных углов является развернутым и равен $180^\circ$. Это означает, что эти биссектрисы являются дополнительными лучами и лежат на одной прямой.

Ответ: $180^\circ$.