Номер 6.13, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.13. Найдите градусные величины двух смежных углов, если:

а) один из них на $30^\circ$ больше другого;

б) их разность равна $40^\circ$;

в) один из них в четыре раза меньше другого;

г) они равны.

Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим два смежных угла как $\alpha$ и $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Это равенство мы будем использовать для решения всех подпунктов.

а) один из них на 30° больше другого

Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол будет равен $x + 30^\circ$.

Составим уравнение, используя свойство смежных углов:

$x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$

$2x + 30^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 30^\circ$

$2x = 150^\circ$

$x = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

Итак, один угол равен $75^\circ$.

Второй угол равен $x + 30^\circ = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$.

Проверим: $75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.

б) их разность равна 40°

Пусть один угол равен $\alpha$, а другой $\beta$.

Из условия мы имеем два уравнения:

1. $\alpha + \beta = 180^\circ$ (как смежные углы)

2. $\alpha - \beta = 40^\circ$ (по условию задачи)

Это система линейных уравнений. Сложим первое и второе уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 40^\circ$

$2\alpha = 220^\circ$

$\alpha = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Теперь найдем $\beta$, подставив значение $\alpha$ в первое уравнение:

$110^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Проверим: $110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ и $110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $70^\circ$ и $110^\circ$.

в) один из них в четыре раза меньше другого

Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол будет в 4 раза больше, то есть $4x$.

Составим уравнение, используя свойство смежных углов:

$x + 4x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

Итак, меньший угол равен $36^\circ$.

Больший угол равен $4x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.

Проверим: $36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $36^\circ$ и $144^\circ$.

г) они равны

Пусть каждый из углов равен $x$.

Составим уравнение, используя свойство смежных углов:

$x + x = 180^\circ$

$2x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Оба угла равны $90^\circ$. Такие углы называются прямыми.

Проверим: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $90^\circ$ и $90^\circ$.