Номер 6.6, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.6. На клетчатой бумаге изобразите углы, как показано на рисунке 6.5. Оцените на глаз их градусную величину. Проверьте ваши оценки, измерив углы с помощью транспортира. $\text{C}$

Рис. 6.5

а) Оценка на глаз: Угол `∠BAC` является острым. Он выглядит немного больше, чем 45° (угол, который делит прямой угол пополам). Визуально можно предположить, что его величина составляет примерно 50°–60°.

Проверка измерением (расчетом): Для точного определения градусной меры угла воспользуемся методом, основанным на координатах точек на клетчатой бумаге, который даст тот же результат, что и измерение транспортиром. Примем вершину угла, точку A, за начало координат (0,0).

Луч AB проходит через узел сетки, который смещен на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх относительно точки А. Координаты этой точки можно записать как (3, 1).

Луч AC проходит через узел, смещенный на 1 клетку вправо и 3 клетки вверх. Координаты этой точки — (1, 3).

Угол `γ` между двумя лучами, заданными векторами $v_1 = (x_1, y_1)$ и $v_2 = (x_2, y_2)$, можно найти по формуле из аналитической геометрии:

$cos(γ) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Подставим координаты наших точек:

$cos(∠BAC) = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 3}{\sqrt{3^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{3 + 3}{\sqrt{9 + 1} \cdot \sqrt{1 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0.6$

Зная косинус угла, находим сам угол (с помощью калькулятора или таблиц):

$∠BAC = arccos(0.6) \approx 53.13°$

Таким образом, точное значение угла, которое показал бы и транспортир, составляет примерно 53°.

Ответ: Оценка на глаз — около 55°. Результат измерения (расчета) — примерно 53.1°.

б) Оценка на глаз: Угол `∠CAB` является тупым, то есть больше 90°. Он выглядит так, будто к прямому углу добавили еще примерно половину прямого угла (45°). Поэтому можно предположить, что его величина очень близка к $90° + 45° = 135°$.

Проверка измерением (расчетом): Аналогично пункту а), найдем точное значение угла с помощью координат. Примем точку A за начало координат (0,0).

Луч AC проходит через узел сетки, смещенный на 2 клетки влево и 1 клетку вверх. Его координаты: (-2, 1).

Луч AB проходит через узел, смещенный на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх. Его координаты: (3, 1).

Используем ту же формулу для косинуса угла:

$cos(∠CAB) = \frac{(-2) \cdot 3 + 1 \cdot 1}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{-6 + 1}{\sqrt{4+1} \cdot \sqrt{9+1}} = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}}$

Упростим знаменатель: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

$cos(∠CAB) = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Угол, косинус которого равен $-\frac{1}{\sqrt{2}}$, хорошо известен в геометрии — это 135°.

$∠CAB = arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 135°$

В этом случае наша оценка на глаз оказалась абсолютно точной. Измерение транспортиром также дало бы 135°.

Ответ: Оценка на глаз — около 135°. Результат измерения (расчета) — 135°.