Номер 6.4, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.4. На клетчатой бумаге изобразите луч $\text{AB}$, как показано на рисунке 6.4. От луча $\text{AB}$ отложите угол $BAC$, равный:

а) $45^\circ$;

б) $90^\circ$.

Рис. 6.4

а) Для построения угла $BAC$, равного $45°$, воспользуемся координатным методом на клетчатой бумаге. Примем точку $A$ за начало координат $(0,0)$.

Из рисунка 6.4 а) видно, что луч $AB$ проходит через узел сетки, который находится на 3 клетки правее и на 2 клетки выше точки $A$. Таким образом, мы можем сопоставить лучу $AB$ направляющий вектор с координатами $(3, 2)$.

Чтобы построить луч $AC$, образующий с лучом $AB$ угол $45°$, можно воспользоваться правилом поворота вектора на плоскости. Если исходный вектор, задающий луч, имеет координаты $(x, y)$, то вектор, повернутый на $45°$ против часовой стрелки, будет сонаправлен вектору с координатами $(x-y, x+y)$, а повернутый на $45°$ по часовой стрелке — вектору с координатами $(x+y, y-x)$.

В нашем случае для луча $AB$ имеем $x=3$ и $y=2$.

1. Найдем направление луча $AC$, повернутого на $45°$ против часовой стрелки. Координаты точки $C$ будут $(3-2, 3+2) = (1, 5)$. Это означает, что от точки $A$ нужно отложить 1 клетку вправо и 5 клеток вверх.

2. Найдем направление луча $AC$, повернутого на $45°$ по часовой стрелке. Координаты точки $C$ будут $(3+2, 2-3) = (5, -1)$. Это означает, что от точки $A$ нужно отложить 5 клеток вправо и 1 клетку вниз.

Для решения задачи достаточно построить любой из этих двух лучей.

Ответ: Чтобы построить угол $BAC$, равный $45°$, от точки $A$ необходимо провести луч $AC$ через узел сетки, который находится на 1 клетку вправо и 5 клеток вверх, или через узел, который находится на 5 клеток вправо и 1 клетку вниз.

б) Для построения угла $BAC$, равного $90°$, также воспользуемся координатным методом. Примем точку $A$ за начало координат $(0,0)$.

Из рисунка 6.4 б) видно, что луч $AB$ проходит через узел сетки, который находится на 3 клетки правее и на 1 клетку выше точки $A$. Направляющий вектор луча $AB$ имеет координаты $(3, 1)$.

Угол в $90°$ означает, что луч $AC$ должен быть перпендикулярен лучу $AB$. На клетчатой бумаге, если вектор одного луча имеет координаты $(x, y)$, то перпендикулярный ему вектор будет иметь координаты $(-y, x)$ (поворот на $90°$ против часовой стрелки) или $(y, -x)$ (поворот на $90°$ по часовой стрелке). Это следует из условия перпендикулярности векторов: их скалярное произведение равно нулю. Например, $(x, y) \cdot (-y, x) = x(-y) + yx = -xy + xy = 0$.

В нашем случае для луча $AB$ имеем $x=3$ и $y=1$.

1. Найдем направление луча $AC$, повернутого на $90°$ против часовой стрелки. Координаты точки $C$ будут $(-1, 3)$. Это означает, что от точки $A$ нужно отложить 1 клетку влево и 3 клетки вверх.

2. Найдем направление луча $AC$, повернутого на $90°$ по часовой стрелке. Координаты точки $C$ будут $(1, -3)$. Это означает, что от точки $A$ нужно отложить 1 клетку вправо и 3 клетки вниз.

Для решения задачи достаточно построить любой из этих двух лучей.

Ответ: Чтобы построить угол $BAC$, равный $90°$, от точки $A$ необходимо провести луч $AC$ через узел сетки, который находится на 1 клетку влево и 3 клетки вверх, или через узел, который находится на 1 клетку вправо и 3 клетки вниз.